De thi hsg toan 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH
MÔN TOÁN LỚP 9 – THCS NĂM HỌC 2010 – 2011


+ Đáp án gồm có 05 trang
+ Thí sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho đủ điểm thành phần tương ứng

Câu
Ý
Nội dung
Điểm


1

Phân tích đa thức
thành nhân tử
1,50



A =

0,25





0,25





0,5





0,5

2
a
Giải phương trình
(1)
1,50





Vậy TXĐ:

- Nếu
thì VP(1)
(không thỏa mãn)
0,5



- Nếu
thì (1)



Từ (1) và (2) suy ra

0,5





0,25



Thử lại. Với x = 3 thì VT(1) = VP(1) = 12
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
0,25


b
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh
1,00



- Nếu x = 0 thì hệ có nghiệm (x ; y ; z) là (0 ; 0 ; 0)
0,25



- Nếu
. Ta có :

0,25



Cộng theo vế các phương trình của hệ ta được


0,25




. Thử lại ta thấy
thỏa mãn hệ pt đã cho.
Vậy hệ có 2 nghiệm (x ; y ; z) là (0 ; 0 ; 0),
.
0,25

3
a
Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
1,00



Ta có
, trong đó m, n là các số nguyên thỏa mãn
n > 0, (m, n) = 1.

.
0,25



Vì
là số vô tỉ và m, n, x, y, z là các số nguyên nên ta có
(2) <=> nx – my = ny – mz = 0
.
0,25



Ta lại có :



Vì
là số nguyên tố và x + y + z là số nguyên lớn hơn 1 nên x – y + z = 1. Do đó

0,25



Nhưng x, y, z là các số nguyên dương nên

Suy ra x2 = x, y2 = y, z2 = z => x = y = z = 1.
Khi đó
và
(thỏa mãn)
Vậy (x ; y ; z) = (1 ; 1 ; 1) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
0,25


b
Tìm nghiệm nguyên của phương trình
.
1,00



Ta có : 150 – 15x = 20y2 – 6xy <=> 6xy – 15x = 20y2 – 150
<=> 3x(2y – 5) = 5(4y2 – 25) – 25
<=> (2y – 5)(10y + 25 – 3x) = 25
Xét 6 trường hợp sau
0,25




(thỏa mãn)

(thỏa mãn)
0,25




(loại)

(loại)
0,25




(loại)

(thỏa mãn)
Vậy phương trình có 3 nghiệm (x ; y) là (10 ; 3), (58 ; 15), (10 ; 0).
0,25

4
a
Chứng minh PI.AB = AC.CI
1,00



Chứng minh



Ta có :






0,25



Chứng minh tứ giác ADIF nội tiếp

0,25



Từ (1) và (2)

0,25




(đpcm)
0,25


b
Chứng minh MD là tiếp tuyến của đường tròn (O)
1,00



Chứng minh tứ giác CDIH nội tiếp đường tròn (O)

là góc nội tiếp chắn cung DI (3)
0,25




có DM là đường trung tuyến

cân tại M

0,25



Ta lại có
(cùng phụ với
) (5)
0,25



Từ (4) và (5)

Từ (3) và (6) suy ra MD là tiếp tuyến của đường tròn (O)
0,25


c
Chứng minh