ĐỀ THI HSG TOÁN 9 (5)

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
TỈNH BÀ RỊA - VŨNG TÀU NĂM HỌC 2008 – 2009
---------------------------------- ------------------------------
Ngày thi: 04 tháng 3 năm 2009

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút


Bài 1 (6 điểm)
1) Giải phương trình:

2) Tìm x, y để biểu thức F đạt giá trị nhỏ nhất:


Bài 2 (4 điểm)
Tìm số tự nhiên có 3 chữ số
thỏa:


Bài 3 (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (H thuộc BC). Đường tròn đường kính AH cắt AB, AC lần lượt tại E, F. Chứng minh rằng:
.

Bài 4 (3 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R và M là một điểm thay đổi trên nửa đường tròn (khác A và B). Tiếp tuyến của (O) tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) tại các điểm C và D. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM và BDM.

Bài 5 ( 3 điểm)
Cho 100 số tự nhiên
thỏa mãn điều kiện:


Chứng minh rằng trong 100 số tự nhiên đó, tồn tại hai số bằng nhau.



----------------------------------------------------- HẾT ------------------------------------------------------

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2:


SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
TỈNH BÀ RỊA VŨNG – TÀU NĂM HỌC 2008 – 2009
---------------------------------- ----------------------------

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC
(Hướng dẫn này gồm có 02 trang)
Bài 1 (6 điểm)
Câu 1 (3 điểm):
Cách 1: Pt


.
Cách 2: +/ Nếu x>5: VT =

+/ Nếu
: Tương tự VT < VP.
+/ Khi x = 5 thì VT = VP, nên x = 5 là nghiệm của pt.
Câu 2 (3 điểm)
F =
=
.
Ta thấy với mọi x, y thì
. Nên
.
Bài 2 (4 điểm)
Ta có:



Từ (1) và (2) ta có 99(a-c)=4n – 5

Mặt khác:


. Từ (3) và (4) suy ra n = 26.
Vậy
.
Bài 3 (4 điểm)
Trong tam giác vuông ABC ta có: AB.AC = AH.BC và
(1)
Trong tam giác vuông ABH ta có:

Trong tam giác vuông ACH ta có:

Từ (2) và (3) ta có:

Kết hợp (1) và (4) ta được:

Tứ giác AEHF là hình chữ nhật nên AH = EF nên suy ra
.
Bài 4 (3 điểm)
Ta có:
(1)
Kẻ MH vuông góc với AB thì:
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:

Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM và BDM là
, đạt được khi M là điểm chính giữa của cung AB.
Bài 5 (3 điểm)
Ta có kết qủa quen thuộc sau đây:

Thật vậy: Từ
, suy ra:

(*)
Gỉa sử trong 100 số tự nhiện đã cho không có hai số nào bằng nhau. Không mất tính tổng quát, giả sử:

Thế thì:

(áp dụng (*))
Kết qủa này trái với giả thiết. Vậy tồn tại bằng nhau trong 100 số đã cho.

LƯU Ý:
- Trên đây là hướng dẫn tóm tắt cách giải. Tổ chấm cần thống nhất thang điểm chi tiết đến 0,25 hoặc 0,5.
- Các cách giải khác đúng (trong phạm vi chương trình THCS) vẫn cho điểm.