De thi HSG tỉnh Đồng Tháp 07-08

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2007-2008.
Môn thi : Toán.
Ngày thi : 14/10/2007.
Thời gian làm bài : 180 phút (không kể phát đề).
(Đề thi gồm có 01 trang).
Bài 1: (5 điểm).
Tìm tất cả các số nguyên m sao cho phương trình x2 +(m2-m)x - m3+1= 0 có một
nghiệm nguyên .
b) Giải bất phương trình
Bài 2: (5 điểm).
Giải phương trình 4sin25x-4sin2x+2(sin6x+sin4x)+1=0
Cho các số thực x1,x2,. ,xn thỏa mãn sin2x1+2sin2x2+.+nsin2xn= a ,với n là số nguyên

dương , a là số thực cho trước , .Xác định các giá trị của x1,x2,. ,xn
sao cho tổng S= sin2x1+2sin2x2+.+nsin2xn đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất này theo a và n.
Bài 3: (4 điểm).
Cho ba số thực a,b,c thỏa abc=1 .Chứng minh :



b) Cho tam giác ABC nhọn thỏa điều kiện

Chứng minh rằng ABC là tam giác cân.
Bài 4: (2 điểm).
Cho tam giác ABC ,trên các cạnh BC,CA,AB lần lượt lấy các điểm A`,B`,C` sao cho AA`,BB` và CC` đồng qui tại điểm M.Gọi S1,S2 và S3 lần lượt là diện tích của các tam giác

MBC,MCA ,MAB và đặt .

Chứng minh rằng: (y+z-1) S1+(x+z-1)S2 +(x+y-1)S3 =0

Bài 5: (2 điểm).
Cho dãy {un} , n là số nguyên dương , xác định như sau : .


Tính un và chứng minh rằng u1+u2+.+ un .
Bài 6: (2 điểm).
Cho đa thức f(x)=x3+ax2+bx+b có ba nghiệm x1,x2,x3 và đa thức g(x)=x3+bx2+bx+a .Tính tổng S=g(x1)+g(x2)+g(x3) theo a,b.

Hết.