Đề thi hsg tỉnh Bắc Ninh

SỞ GD&ĐT NINH BÌNH




ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
Kỳ thi thứ hai - Năm học 2012 – 2013
MÔN: TOÁN
Ngày thi 18/12/2012
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang


Câu 1 (3,0 điểm).
Cho hàm số y = x3 + 2mx2 + (m + 3)x + 4 (m là tham số) có đồ thị là (Cm), đường thẳng d có phương trình y = x + 4 và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của tham số m để d cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng
.
Câu 2 (6,0 điểm).
1. Cho phương trình 2cos2x – mcosx =
sin4x + msinx, m là tham số (1).
a) Giải phương trình (1) khi m = 2.
b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm trong đoạn [0,
].
2. Giải phương trình
.
Câu 3 (4,0 điểm).
1. Tìm hệ số của x18 trong khai triển của (2 – x2)3n biết
thoả mãn đẳng thức sau:

.
2. Cho dãy số (un) với un + 1 = a.un + b,
, a, b là 2 số thực dương cho trước. Với
tìm un theo u1, a, b và n.
Câu 4 (5,0 điểm).
1. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AA’ và B’C’. Mặt phẳng (IJK) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
2. Cho khối tứ diện ABCD có cạnh AB > 1, các cạnh còn lại có độ dài không lớn hơn 1. Gọi V là thể tích của khối tứ diện. Tìm giá trị lớn nhất của V.
Câu 5 (2,0 điểm). Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

.
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

--------HẾT--------

Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh ........................................
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:...................................................................................................
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 2:...................................................................................................

SỞ GD&ĐT NINH BÌNH
HDC ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT
Kỳ thi thứ hai - Năm học 2012 – 2013
MÔN: TOÁN
Ngày thi: 18/12/2012
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)

A) Hướng dẫn chung:
1) Học sinh làm đúng đến đâu thì giám khảo chấm đến đó. Học sinh trình bày theo cách khác mà đúng thì giám khảo chấm tương ứng biểu điểm của HDC.
2) Việc chi tiết hóa thang điểm phải đảm bảo không làm sai lệch biểu điểm của HDC và phải được thống nhất trong toàn hội đồng chấm thi.
3) Điểm của bài thi không làm tròn.
B) Hướng dẫn cụ thể:
Câu
Đáp án
Điểm

1
(3,0 điểm)
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:
x3 + 2mx2 + (m + 3)x + 4 = x + 4 ( x(x2 + 2mx + m + 2) = 0


0,5


d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt ( PT (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0


0,5


Khi đó B = (x1; x1 + 4), C = (x2; x2 + 4) với x1, x2 là hai nghiệm của (*).
Theo Vi-ét ta có

0,5




0,5


Ta có khoảng cách từ K đến d là h =
.
Do đó diện tích (KBC là:


0,5



.
Vậy
.
0,5

2
(6,0 điểm)
1a. (2,5 điểm)


2cos2x – mcosx =
sin4x + msinx

4cos2x - sin2x.cos2x – 2m(sinx + cosx) = 0

cos2x(4 - sin2x) – 2m(sinx + cosx) = 0

(cos2x – sin2x)(4 - sin2x) - 2m(sinx + cosx) = 0

(sinx + cosx)[(cosx – sinx)(4 - sin2x) - 2m] = 0


1,0


*Giải (2):

0,5


*Giải (3):
.
Đặt t = cosx - sinx,

PT (3) trở thành: