Đề thi HSG THPT cấp tỉnh 08-09 (có đáp án) dùng liền

ĐỀ CHUẨN BỊ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2008 – 2009
MÔN TOÁN LỚP 12
ĐỀ SỐ 1
Thời gian làm bài 180 phút
(không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (3.0 điểm)
1.1. Cho ABC là tam giác có ba góc nhọn . Chứng minh rằng:


1.2. Tìm nghiệm của phương trình :
thỏa điều kiện: 2007 < x < 2008.

Câu 2. (2.0 điểm)
Giải phương trình nghiệm nguyên:
(1)
Câu 3: (3.0 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi H là trung điểm của BC, D là hình chiếu của H trên cạnh AC, M là trung điểm của HD. Chứng minh AM vuông góc với BD.

Câu 4 (3.0 điểm)
Cho dãy số (
(; n = 1,2,… được xác định như sau:


Đặt
(n =1,2,…). Tính

Câu 5: (3.0 điểm)

5.1 Chứng minh rằng bốn đường tròn có đường kính là bốn cạnh của một tứ giác lồi thì phủ kín tứ giác đã cho.
5.2. Chứngminh


Câu 6: (3.0 điểm)
6.1. Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên không âm và không lớn hơn 8. Giả sử P (9) = 32078. Hãy xác định đa thức P(x).

6.2. Cho a,b,c >0 thỏa mãn điều kiện abc =1. Tìm GTNN của:


Câu 7: (3.0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng
. Biết A(2;3), B(3; - 2) và trọng tâm G thuộc đường thẳng d có phương trình:
3x – y – 8 = 0. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC./.Hết.


ĐÁP ÁN DỰ KIẾN
ĐỀ SỐ 1

Câu 1:
1.1 Cho ABC là tam giác có ba góc nhọn . Chứng minh rằng:



Do tam giác ABC nhọn nên tgA > 0 ,tgB > 0 , tgC > 0. Viết lại bất đẳng thức:


Áp dụng bất đẳng thức Côsi:

tự:
;



Suy ra :



Mặt khác:
, vì bất đẳng thức này tương đương với:
cotg2A+cotg2B+cotg2C +2(cotgA.cotgB+cotgB.cotgC+cotgC.cotgA)
3
Từ đó suy ra:



1.2. Tìm nghiệm của phương trình :
thỏa mãn điều kiện: 2007 < x < 2008 .

Đặt PT:
(*)
Ta có:
=

cos2x = (
-
).(
+
)

(*)
(
-
).{1 - (
+
)
} = 0


-
=0 (1) hoặc (
+
)
= 1 (2)
+Giải (1)
cos2x= 0
+Giải (2)
(1+
).(1+sin2x) = 1
sin2x=0 (vì sin2x >0 không xảy ra )

Tóm lại : (*)
cos2x= 0 hoặc sin2x= 0
sin4x= 0
x =k
; k
Z
+ Với ĐK: 2007< x <2008 , chọn các số nguyên k =2556. vậy : x = 639
.

Câu 2: Giải phương trình nghiệm nguyên:
(1)
BG: Dễ thấy pt có nghiệm: x = y = 0.
Với
ta có:
(2)
Từ (2) suy ra
là bình phương của một số nguyên. Gọi
(3), a là số nguyên.


*Thay x = 4 vào (2) ta được y = -1, y = 2.
*Thay x = -4 vào (2) ta được y = 1, y = -2.
Vậy PT có các nghiệm nguyên (x; y) là: (0;0), (4; -1), (4;2), (-4;1), (-4;2).
Câu 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi H là trung điểm của BC, D là hình chiếu của H trên cạnh AC, M là trung điểm của HD. Chứng minh AM vuông góc với BD.

Bài giải:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó:




Ta có:



Mà M là trung điểm của HD nên tọa độ của M là:



Vậy
(đpcm).
Câu 4:
Ta có:


( vì
)
(