De thi HSG Thanh Hoa

Sở Giáo Dụcvà Đào Tạo Kỳ thi học sinh giỏi
thanh hoá lớp 12 THPT , BTTHPT, lớp 9 THCS
Đề chính thức Năm học : 2007-2008
Môn thi: Toán lớp 9 THCS
Ngày thi: 28/3/2008
Thời gian: 150 phútkhông kể thời gian giao đề

Câu 1: (6 điểm)
Rút gọn biểu thức: A =
Cho các số thực x,y,z thoả mãn điều kiện:
Tính giá trị của biểu thức: P = x2006 + y2007+z2008
Câu 2: (4điểm)
Cho tứ giác ABCD có góc A vuông, góc D = 1200 và các cạnh AB = cm, AD = 4 cm, DC = 2 cm . Gọi M là trung điểm của cạnh AD.
Chứng minh BM MC
Tính độ dài cạnh BC.
Câu 3: (6 điểm)
Giải hệ phương trình:
Cho số thực dương thoả mãn điều kiện : x + y + z = 2008
Chứng minh rằng:
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm của cạnh BC , đường phân giác ngoài của góc A cắt đường thẳng BC tại D. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt tia AB tại E và tia đối của tia AC tại F . Gọi N là trung điểm của EF. Chứng minh MN // AD.
Câu 5: (1 điểm)
Cho hai tập hợp A và B thoả mãn đồng thời 2 điều kiện a, b sau :
a) Trong mỗi tập hợp, các phần tử của nó đều là các số nguyên dương phân biệt và nhỏ hơn 2008.
b) Tổng số các phần tử của hai tập hợp lớn hơn 2008.
Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một phần tử của tập hợp A và một phần tử của tập hợp B có tổng bằng 2008.
-------------------------------------Hết------------------------------------------


Gọi K đối xứng với F qua M
Tứ giác FBKC là hình bình hành FC // BK
Mà