Đề thi HSG lớp 12 (các môn) năm 2015 - 2016, Tỉnh Vĩnh Phúc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015-2016
ĐỀ THI MÔN: TOÁN - THPT
Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề



Câu 1 (2,5 điểm).
a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
đồng biến trên khoảng
.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
có điểm cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị đó đối xứng với nhau qua đường thẳng
.
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Giải phương trình:
.
b) Cho đa giác đều có 15 đỉnh. Gọi M là tập tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác đã cho. Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập M, tính xác suất để tam giác được chọn là một tam giác cân nhưng không phải tam giác đều.
Câu 3 (1,5 điểm).
Giải phương trình:
.
Câu 4 (2,0 điểm).
Cho hình chóp
có đáy ABCD là hình chữ nhật,
,
vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và
. Lấy điểm
bất kì thuộc cạnh SA sao cho
với
.
a) Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng
.
b) Xác định x để mặt phẳng
chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau.
Câu 5 (1,0 điểm).
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có trọng tâm G. Gọi E, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A, I là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng CD. Biết điểm
, đường thẳng IG có phương trình
và điểm E có hoành độ bằng 1. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
Câu 6 (1,0 điểm).
Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn
và
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
---------------Hết----------------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….………..…….................…….….….; Số báo danh:……….....……….
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC


KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015-2016
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN - THPT
(Hướng dẫn chấm có 05 trang)

I. LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.
II. ĐÁP ÁN:
Câu
Ý
Nội dung trình bày
Điểm

1

a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

đồng biến trên khoảng
.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
có điểm cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị đó đối xứng với nhau qua đường thẳng
.
2,5


a
TXĐ:



Do phương trình
có nhiều nhất hai nghiệm trên
, nên để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng


0,5




.
Xét hàm số
trên khoảng



0,5



BBT
x
0

1

3






0








3



2




Từ BBT,

Vậy,
thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
.
0,5


b
TXĐ:


. Hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu
phương trình
có hai nghiệm phân biệt

0,5



Tọa độ hai điểm cực trị
và trung điểm của AB là

A, B đối xứng với nhau qua đường thẳng


(thỏa mãn). Vậy,
.
0,5

2

a) Giải phương trình:
.
b) Cho đa giác đều có 15 đỉnh. Gọi M là tập tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác đã cho. Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập M, tính xác suất để tam giác được chọn là một tam giác cân nhưng không phải tam giác đều.
2,0





























a
Điều kiện:

Suy ra

0,25