ĐỀ THI HSG 9

ĐỀ 4

Bài 1: Rút gọn biểu thức: A =


Bài 2: Cho biểu thức: B = 1 +

a. Rút gọn B
b. Chứng minh rằng B >


Bài 3: Với a, b, c, d là các số dương thoả mãn a.b = c.d = 1.
Chứng minh rằng (a + b).(c + d) + 4


Bài 4: Cho tam giác ABC. Một đường thẳng song song với cạnh BC cắt AB tại D và cắt AC tại E.
a. Chứng minh rằng với mọi điểm P trên cạnh BC, ta luôn có diện tích tam giác PDE không lớn hơn
diện tích tam giác ABC
b. Đường thẳng DE ở vị trí nào thì diện tích tam giác PDE đạt giá trị lớn nhất?


ĐÁP ÁN ĐỀ 4

Bài 1: Rút gọn biểu thức: A =
ĐK:

A =
=
=
=
Với

Với

Bài 2: a. B =
( đ)
= 1 +
( đ)
= 1 +
( đ)
= 1 +

= 1 +
= 1 +

(ĐK:
)
Ta có:


Nên
(*)
Mặt khác
nên chia cả hai vế của (*) cho
ta có:

và vì
nên dấu “=” không x ảy ra. Vậy B >
; a

( đ)
Bài 3: Với a, b, c, d là các số dương thoả mãn a.b = c.d = 1.
Chứng minh rằng (a + b).(c + d) + 4

Xét hiệu:
=
===
=

Do
và
nên ta có
( đ)
=>
( đ)
=>
( đ)

nên
hay:

( đ)
Tức là: (a + b).(c + d) + 4
( đ)

Bài 4:
CM
a. Kẻ AH
BC cát DE tại K. Đạt AH = h,
AK = k ta có:

( đ)
Vì
( đ)
Áp dụng BĐT:
.
Dấu “=” xảy ra khi
( đ)
Ta có k + h – k = h không đổi k


( đ)
b. SPDE lớn nhất khi k =
( đ)