Đề thi Học sinh giỏi và Đáp án

PHÒNG GIÁO DỤC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC 2005 – 2006
HUYỆN LONG ĐIỀN Môn thi : Anh Văn lớp 9
Thời gian : 150 phút (không kể giao đề)


Bài 1: (4 điểm)
Cho Chứng minh Đẳng thức xảy ra khi nào?
Tìm giá trị của x để biểu thức : A = có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó?
ĐÁP ÁN:
Câu a:(2,0 điểm)

với b1;a0; ( điều này luôn đúng) 1,5đ
Dấu bằng xảy ra 0,5đ
(Học sinh có thể dùng BĐT Cô- Si để c/m)
Câu b:(2,0 điểm)
A = 0,5đ
A có giá trị lớn nhất lớn nhất 2x2 +1 nhỏ nhất 0,5đ
mà 2x2 +1 nhỏ nhất = 1 khi x=0.Vậy khi x =0 0,5đ
thì A có giá trị lớn nhất và giá trị lớn nhất đó là A =1 + 4/1=5 0,5đ
Bài 2: (4,0 đ)
1/ Cho A = 1+2+3+……..+ 2004+2005 +2006
a/ Tính A (1,0 đ)
b/ Nếu thay tổng của hai số hạng bất kỳ ( chọn trong tổng A)ø bằng hiệu của hai số hạng đó thì tổng mới của A là số lẻ hay số chẵn (1,0 đ)
2/ Chứng minh rằng số tự nhiên :
A = 1.2.3………2003.2004 (1
chia hết cho 2005 (2,0 đ)
Đáp án và biểu điểm
1: a/ ( 1,0 đ) Ta có : A = 2013021
b/ ( 1,0 đ) Với hai số a, b bất kỳ thì tính chẵn lẻ của tổng và hiệu giống nhau. Ta có:
a = 2p ; b = 2q a + b = 2( p + q) ; a – b = 2( p – q): Chẵn
a = 2p + 1 ; b = 2q + 1 a + b = 2(p + q + 1); a – b = 2(p – q): Chẵn
a = 2p ; b = 2q + 1 a + b = 2(p + q) + 1; a – b = 2(p – q) – 1 :lẻ
a = 2p + 1 ; b = 2q a + b = 2(p + q) + 1; a – b = 2(p – q) + 1: lẻ
Như vậy khi ta thay một tổng bởi hiệu của chúng thì tính chẵn lẻ của tổng A không đổi A = 2013021 là số lẻ nên tổng A mới là một số lẻ
2/ ( 2,0 đ) Ta có:
C = (1
= (1+ ……+
= 2005
= 2005. k ( 1,0 đ)
B = 1.2.3………2003.2004
mà 1.2.3………2003.2004 N B . k N
A = B. 2005 k 2005 ĐPCM ( 1,0 đ)
Bài 3 : (4 đ)
Cho hệ phương trình :

1. Giải hệ phương trình khi

2. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm
Đáp án :( 4 điểm )
1. Khi m = 2, ta có hệ
.
Hệ này có nghĩa khi : x>1 : y>0 (0,25đđ)
Đặt
(3) Ta có :


(thoả) (0,75đđ)

(0, 5đđ)
Giải hệ phương trình
( thoả)
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là :
(0,5đ)
2. Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được

với x>1 ; y>0 (1đ )
Vậy :
(0,5đđ) . Nên m < 2 hệ phương trình đã cho vô nghiệm ( 0,5đ)

Bài 4: (4 điểm)
AB và CD là 2 dây cung vuông góc nhau tại E bên trong đường tròn (O, R)
a) Chứng minh rằng: EA2 + EB2 + EC2 + ED2 = 4R2 (2 điểm)
b) Gọi M là trung điểm của AC; chứng minh EM vuông góc với BD (2 điểm)


HD chấm: a) Vẽ đường kính