Đề thi Học sinh giỏi Toán 9 và Đáp án

PHÒNG GD-ĐT HUYỆN LONG ĐIỀN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ------------------------------------------------ NĂM HỌC 2009-2010
-------------------------
MÔN THI : TOÁN
Thời gian : 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 16/01/2010

Bài 1(4đ)
Tính tổng:
b) Cho a, b, c, d là các số dương và
. Hãy trục căn thức ở mẫu của biểu thức sau:



Bài 2: (4đ)
a) (2đ) Biết rằng a,b là các số thoả mãn a > b > 0 và a.b = 1
Chứng minh :

(2đ) Tìm tất cả các số tự nhiên
có 3 chữ số sao cho :

với n là số nguyên lớn hơn 2
Bài 3: (4đ)
a) (2đ) Phân tích thành nhân tử:
M =
với


b) (2đ) Giải phương trình


Bài 4: (2.đ) Cho đường thẳng (d) có phương trình:

(0,5đ) Xác định m để đường thẳng (d) đi qua điểm P(-1;1).
(1,5đ) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 5: (2 đ)
Cho
ABC đều điểm M nằm trong
ABC sao cho AM2 = BM2 + CM2. Tính số đo góc BMC ?

Bài 6: (4,0 đ)
Cho nửa đường tròn đường kính BC=2R, tâm O cố định. Điểm A di động trện nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của điểm A lên BC. Gọi Dvà E lần lượt là hình chiếu của H lên AC và AB.
a) Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB2 b) Xác định vị trí điểm A sao cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn nhất đó theo R.
----HẾT----

ĐÁP ÁN
Bài 1(4đ, mỗi bài 2 điểm)
a)










b)



(0,5 điểm).



(0,5 điểm).


(0,5 điểm)
.


(0.5 điểm)
Bài 2: ( 2 điểm )
* Vì a.b = 1 nên
( 1 đ )
* Do a > b > 0 nên áp dụng BĐT Cô Si cho 2 số dương
Ta có :

Vậy
( 1đ )
( 2 đđiểm )
Viết được

Từ (1) và (2) ta có 99 ( a –c ) = 4n – 5 => 4n – 5
99 (3) ( 0,75 đ )
Mặt khác : 100


(4) ( 0,75đđ )
Từ (3) và (4) => 4n – 5 = 99 => n = 26
Vậy số cần tìm
( 0,5 đ )

Bài 3(4đ)
a) (2 điểm) M =
với


(0,25đ)

(0,5đ)

(0,5đ)

(0,5đ)

(0,25đ)
b) (2đ) Giải phương trình
(1)
Ta nhận thấy x = 1 là nghiệm của PT (1) (0,75đ)
Với
thì:


Nên PT vô nghiệm với
(0,5đ)
Với x >1 Thì:


Nên PT vô nghiệm với x >1 (0,5đ)
Vậy PT (1) có nghiệm duy nhất x = 1 (0,25đ)

Bài 4: (2 điểm)
a) Vì đường thẳng (d) đi qua P(-1;1) nên

(0,5 điểm)
b) Gọi
là tọa độ điểm cố định mà (d) đi qua
Ta có:
. (0,5đ)


Vậy điểm cố định mà (d) đi qua là (-1;2) (1đ)

Bài 5:
Vẽ tam giác đều CMN

(1 điểm)

mà



vuông tại M.


. (1 điểm)
Bài 6: (4,0 đ)
a) Chứng minh: AB . EB + AC