Đề thi học sinh giỏi cấp TP năm học 2013 - 2014 (phần Toán)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 9
TP. TAM KỲ NĂM HỌC 2013-2014
========== =========



MÔN TOÁN (DÀNH CHO LỚP TIN)
Thời gian 60 phút (không kể thời gian giao đề)
===========


Bài 1 ( 3 điểm)
Giả sử :
( với
)
Chứng minh :



Bài 2 ( 4 điểm )
Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

Giải hệ phương trình :


Bài 3 ( 3 điểm )
Tìm ước chung lớn nhất của hai số 20132 + 22013 và 2013
Tìm số dư khi chia số 111...111 cho 18



===Hết====HƯỚNG DẪN CHẤM
MÔN: TOÁN- TIN 9
=
Bài 1 (3 điểm)
Đặt a =
; b =
; c =
;
Từ giả thiết ta có : a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac ( 2(a2 + b2 + c2 )= 2(ab + bc + ac) 0.5đ
( (a-b)2 + (b-c)2 + (c-a)2 = 0 1.0đ
(
0.5đ
( a = b= c 0.5đ
(
( x= y = z 0.5đ

Bài 2 (4 điểm)
a) (2điểm) Ta có : a3 + b3 + c3 – 3abc = [(a + b)3 +c3] – 3ab(a + b + c) 0.5đ
= (a+ b+ c)[(a+b)2 – (a+b)c + c2 – 3ab] 0.5đ
= (a + b + c)(a2 + b2 +c2 – ab – ac – bc ) 0.5đ
=
0,5đ
b) (2 điểm) Theo câu a) ta có :
x3 + y3 + z3 – 3xyz =(x + y + z)(x2 +y2 +z2 – xy – xz – yz)
( 1 – 3xyz = 1 – xy – xz – yz (1) 0,5đ
Mặt khác :
(x+ y+z)2 = 1 ( x2 + y2 + z2 +2 (xy +xz + yz) = 1
( xy + xz + yz = 0 (2) 0,5đ
Từ (1) và (2) suy ra : 3 xyz = 0 ( x= 0 hoặc y =0 hoặc z= 0 0,5đ
Từ đó ta suy ra các nghiệm: (0; 0; 1), (0; 1; 0); (1; 0; 0) 0,5đ

Bài 3( 3 điểm)
(1,5đ) Gọi d là UCLN của hai số 2013 và (20132 + 22013).
Suy ra d là ước của 2013 và (20132 + 22013). 0,5đ
Vì 20132 chia hết cho d và ( 20132 +22013 ) chia hết cho d
nên 22013 phải chia hết cho d 0,5đ
Suy ra : d là ước chung của 22013 và 2013.
Nhưng (2, 2013) = 1 nên suy ra d =1 0,5đ
b) (1,5đ) Ta có thể viết :
111...111 = 111..11100+ 11 0,5đ


Vì số 111...11100 chia hết cho 9 và chia hết cho 2, mà (2,9)=1, nên nó chia hết cho 18 0,5đ

Suy ra số dư là 11 0,5đ


================Hết==============