De thi hoc sinh gioi

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 QUẬN 1. TP HỒ CHÍ MINH
* Môn : Toán       * Khóa thi : 2002 - 2003       * Thời gian : 90 phút
Bài 1 : (3 điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử :
a) x2 + 6x + 5
b) (x2 - x + 1) (x2 - x + 2) - 12
Bài 2 : (4 điểm)
a) Cho x + y + z = 0. Chứng minh x3 + y3 + z3 = 3xyz.
b) Rút gọn phân thức :


Bài 3 : (4 điểm)
Cho x, y, z là độ dài ba cạnh của tam giác.
A = 4x2y2 - (x2 + y2 - z2)2. Chứng minh A > 0.
Bài 4 : (3 điểm)
Tìm số dư trong phép chia của biểu thức :
(x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 2002 cho x2 + 8x + 12.
Bài 5 : (6 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH. Trên tia HC lấy HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
a) Chứng minh AE = AB.
b) Gọi M là trung điểm của BE. Tính góc AHM.
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂNG KHIẾU TRƯỜNG NĂNG KHIẾU HÀN THUYÊN (BẮC NINH)
* Môn : Toán       * Khóa thi : 2002 - 2003       * Thời gian : 150 phút
Bài 1 : (2 điểm)
Xét biểu thức :



1) Rút gọn y. Tìm x để y = 2.
2) Giả sử x > 1. Chứng minh rằng : y - |y| = 0
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của y ?
Bài 2 : (2 điểm)
Giải hệ phương trình :



Bài 3 : (2 điểm)
Cho hình vuông có cạnh bằng 1, tìm số lớn nhất các điểm có thể đặt vào hình vuông (kể cả các cạnh) sao cho không có bất cứ 2 điểm nào trong số các điểm đó có khoảng cách bé hơn 1/2 đơn vị.
Bài 4 : (2 điểm)
Cho hai đường tròn đồng tâm và 1 điểm M cố định trên đường tròn nhỏ. Qua M kẻ hai đường thẳng vuông góc với nhau, một đường cắt đường tròn nhỏ ở A khác M, đường kia cắt đường tròn lớn ở B và C. Khi cho hai đường thẳng này quay quanh M và vẫn vuông góc với nhau, chứng minh rằng :
1) Tổng MA2 + MB2 + MC2 không đổi.
2) Trọng tâm tam giác ABC là điểm cố định.
Bài 5 : (2 điểm)
1) Chứng minh rằng tích của 4 số nguyên dương liên tiếp không thể là số chính phương.
2) Cho tam giác ABC và một điểm E nằm trên cạnh AC. Hãy dựng một đường thẳng qua E và chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau.
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 QUẬN 10-TP HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2002 - 2003
* Môn thi : Toán      * Thời gian : 150 phút
Bài 1 : (3 điểm)
Giải phương trình : |x2 - 1| + |x2 - 4| = x2 - 2x + 4.
Bài 2 : (3 điểm)
Chứng minh đẳng thức :


với a, b trái dấu.
Bài 3 : (3 điểm)
Rút gọn :



Bài 4 : (3 điểm)
Trong các hình chữ nhật có chu vi là p, hình chữ nhật nào có diện tích lớn nhất ? Tính diện tích đó.
Bài 5 : (4 điểm)
Cho đường tròn (O ; R), điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Kẻ tiếp tuyến AM, AN ; đường thẳng chứa đường kính, song song với MN cắt AM, AN lần lượt tại B và C.
Chứng minh :
a) Tứ giác MNCB là hình thang cân.
b) MA . MB = R2.
c) K thuộc cung nhỏ MN. Kẻ tiếp tuyến tại K cắt AM, AN lần lượt tại P và Q. Chứng minh : BP.CQ = BC2/4 .
Bài 6 : (4 điểm)
Cho đường tròn tâm O và đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến (d) tại B của đường tròn (O). Gọi N là điểm di động trên (d), kẻ tiếp tuyến NM (M thuộc (O)).
a) Tìm quỹ tích tâm P của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB.
b) Tìm quỹ tích tâm Q của đường tròn nội tiếp tam giác MNB.
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TỈNH BẮC NINH
* Môn thi : Toán      * Khoá thi : 2002 - 2003      * Thời gian : 150