ĐÈ THI HỌC SINH GIỎI 678

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 7
Năm học 2015 - 2016
Môn: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)



Bài 1 (4,0 điểm)
Cho A = 3 + 32 + 33 + … + 32015 + 32016.
a) Tính A.
b) Tìm chữ số tận cùng của A.
c) A có là số chính phương không? Vì sao?
Bài 2 (4,0 điểm)
a) Tìm x, biết:

b) Tìm 3 phân số có tổng của chúng bằng
, các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5 và các mẫu số tương ứng của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2.
Câu 3. (3,0 điểm)
Cho hàm số: y = f(x) = ax + 4 có đồ thị đi qua điểm A(a + 1; a2 – a).
a) Tìm a.
b) Với a vừa tìm được, tính giá trị của x thỏa mãn: f(3x- 1) = f(1- 3x).
Câu 4. (6,0 điểm).
Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC.
Chứng minh: DC = BE và DC
BE
Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM. Chứng minh: AB = ME và ΔABC = ΔEMA
Chứng minh: MA
BC
Câu 5. (3,0 điểm):
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A=

2) Tìm số nguyên x, y sao cho: x - 2xy + y = 0

------------------------- Hết ------------------------


Họ và tên thí sinh: …………………………………………………. Số báo danh ..............




PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 7
NĂM HỌC 2015 – 2016
Môn thi: Toán

Bài 1 (4,0 điểm)
Câu
Nội dung
Điểm

a/
(1,5 đ)
Ta có: A = 3 + 32 + 33 + … + 32015 + 32016
3A = 32 + 33 + 34 + … + 32016 + 32017
0,5


Suy ra: 3A - A = (32 + 33 + 34 + … + 32016 + 32017 )- (3 + 32 + 33 + … + 32015 + 32016)
0,5


A =
.
0,5

b/
(1,5 đ)
Ta có: A = (3 + 32 + 33 + 34) + … +(32013 + 32014 + 32015 + 32016)
= 3(1 + 3 + 32 + 33) + ... + 32013(1 + 3 + 32 + 33)
0,75


 = 3.40 + ... + 32013.40 = 40.(3 + 35 + ... + 32013)
0,5


 Suy ra A có chữ số tận cùng là 0
0,25

c/
(1,0 đ)
Lập luận được A chia hết cho 3
0,25


Lập luận được A không chia hết cho 32
0,25


Mà 3 là số nguyên tố nên suy ra A không là số chính phương
0,5

Câu 2 (4,0 điểm)
Câu
Nội dung
Điểm

a/
(2,0 đ)
Lập luận được
> 0.
0,5


Nên
(
= 3 (

0,75


( x -1 = 1 hoặc x – 1 = -1 ( x = 2 hoặc x = 0.
0,5


Vậy x = 2 ; x = 0
0,25

b/
(2,0 đ)
Gọi 3 phân số cần tìm lần lượt là
thì ta có

và

0,5


(
(

0,75


Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

=

=
(


0,5


Vậy 3 phân số cần tìm là
.
0,25

Câu 3: (4,0 điểm)
a/
(1,5đ)
Đồ thị hàm số y = ax + 4 đi qua điểm A(a+1; a2- a) nên có:
a2- a = a(a+1) +4.
0,5


( a2 - a = a2 +a + 4 ( a