De thi hoc sinh gioi

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
————————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————


Câu 1 (3,0 điểm). Cho phương trình :

(trong đó x là ẩn, m là tham số)
1. Giải phương trình (1) với

2. Tìm tất cả các giá trị của tham số
sao cho phương trình (1) có bốn nghiệm đôi một phân biệt.
Câu 2 (1,5 điểm). Tìm tất cả các cặp hai số nguyên
thỏa mãn


Câu 3 (3,0 điểm). Cho tam giác
với
nội tiếp trong đường tròn
. Trên cạnh
lấy điểm
và trên tia
lấy điểm
sao cho
Đường tròn ngoại tiếp tam giác
cắt cạnh
tại điểm
đường thẳng
cắt đường tròn
tại điểm thứ hai

1. Chứng minh rằng tam giác AQC đồng dạng với tam giác EPD.
2. Chứng minh rằng

Câu 4 (1,5 điểm). Cho các số thực dương
Chứng minh rằng


Câu 5 (1,0 điểm). Cho đa giác lồi
. Tại mỗi đỉnh
(
), người ta ghi một số thực
sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu hai số trên hai đỉnh kề nhau chỉ bằng 2 hoặc 3. Tìm giá trị lớn nhất có thể được của giá trị tuyệt đối của hiệu giữa hai số ghi trên mỗi cặp đỉnh của đa giác đã cho, biết rằng các số ghi tại các đỉnh đã cho đôi một khác nhau.
--------------Hết--------------

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!


Họ tên thí sinh: .....................………………………………………........... Số báo danh: …………








SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
————————

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2011-2012
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán

I. LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với các ý cơ bản học sinh phải trình bày, nếu học sinh giải theo cách khác đúng và đủ các bước vẫn cho điểm tối đa.
- Trong mỗi câu, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các bước sau có liên quan không được điểm.
- Câu hình học bắt buộc phải vẽ đúng hình mới chấm điểm, nếu thí sinh không có hình vẽ đúng ở phần nào thì giám khảo không cho điểm phần lời giải liên quan đến hình phần đó.
- Điểm toàn bài là tổng điểm của các ý, các câu, tính đến 0,25 điểm và không làm tròn.
II. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM:
Câu 1 (3,0 điểm).
Câu 1.1 (1,5 điểm)
Điểm

Nội dung trình bày

Khi
phương trình đã cho có dạng

Nếu
thì
, vô lý, vậy
.
0,5

Chia hai vế của pt (2) cho
ta được:

Đặt
thay vào phương trình trên ta được

0,5

Với
ta được

0.25

Kết luận nghiệm
0.25


Câu 1.2 (1,5 điểm)
Điểm

2
Nếu
thì phương trình đã cho trở thành
. Khi
thì phương trình vô nghiệm. Khi
thì
là một nghiệm của phương trình đã cho, và khi đó phương trình đã cho có dạng
. Phương trình chỉ có hai nghiệm. Do đó
và
.
0.25


Chia hai vế của phương trình cho
và đặt
ta được phương trình


0.25


Với
ta được phương trình
(1)
Với
ta được phương trình
(2)
Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi mỗi một trong các phương trình (1) và (2) đều có hai nghiệm phân biệt, đồng thời chúng không có nghiệm chung.
0.25


(1) và (2) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

0.25


Khi đó nếu
là một nghiệm chung của (1) và (2) thì

Từ đó
điều này tương đương với hoặc
hoặc

0.25


Nếu
thì
, loại.
Nếu
thì (1), (2) có hai nghiệm
. Do đó (1) và (2) có nghiệm chung khi và chỉ khi
.
Từ đó và (3) suy ra phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
.

0.25






Câu 2 (1,5 điểm).

Nội dung trình bày