DE THI GVG MON TOAN 2011

UBND HUYỆN TAM DƯƠNG
PHÒNG GD – ĐT
-------------------
ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP THCS
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút


Bài 1: (2,5 điểm)
a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P = a3 + b3 + c3 – 3abc
b/ Cho các số a, b, c thỏa mãn: ab + bc + ca = 0 và abc
0.Tính giá trị biểu thức
Q =

c/ Giải phương trình:

Bài 2: (2 điểm)
a/ Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: x2 + xy + y2 = x2y2
b/ Tìm các số nguyên dương a, b, c sao cho giá trị của biểu thức M =
là một số nguyên.
Bài 3: ( 2 điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh có độ dài là a. Trên cạnh AD và CD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho
. Các đoạn BM, BN cắt AC theo thứ tự tại E và F.
a/ Chứng minh rằng: Bốn điểm M, E, F, N cùng nằm trên một đường tròn.
b/ MF và NE cắt nhau tại H, BH cắt MN tại I. Tính BI theo a.
c/ Tìm vị trí của M và N sao cho diện tích tam giác MDN lớn nhất.
Bài 4: (1,5 điểm)
a/ Cho x, y các số thực dương thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
A =

b/ Chứng minh rằng :
, với mọi số nguyên dương m, n.
















ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài
Câu
Nội dung trình bày
Điểm

1
a/
P = a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3ab(a+b) – 3abc
= (a + b + c)3 – 3(a + b).c.( a + b + c) – 3(a + b + c)ab
= (a + b + c)[ (a + b + c)2 – 3ab – 3bc – 3ca]= (a + b + c)( a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)
0.75


b/
Từ câu a/ suy ra: Nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc
Từ giả thiết ta có:
suy ra

0.5



Ta có Q =
=
( Do abc
0)
0.5


c/
Đặt a =
; b =
; c =
, ta có a + b + c = 0 nên a3 + b3 + c3 = 3abc
0.25




x – 1 + x – 2 + x – 3 = 3
.
.

x – 2 =
.
.


(x – 2)3 – (x – 1)(x – 2)(x – 3) = 0
(x – 2)( x2 - 4x + 4 – x2 + 4x – 3) = 0

x – 2 = 0
x = 2. Vậy phương trình có nghiệm x = 2
0.5

2
a/
x2 + xy + y2 = x2y2
x2y2 + xy – ( x + y)2 = 0. Đặt a = x +y; b = xy
Ta có phương trình: b2 + b – a2 = 0 (2), phương trình (2) ẩn b có
= 4a2 + 1
0.25



Để phương trình (2) có nghiệm nguyên thì
là số chính phương suy ra
4a2 + 1 = k2 ,( k
N)
(k – 2a)(k + 2a) = 1.1 = (-1).(-1), từ đó tìm được a = 0
Với a = 0 thay vào (2) ta có b2 + b = 0
b(b+1) = 0
b = 0 hoặc b = -1
0.25



+) Với a = 0 và b = 0 thì

0.25



+) Với a = 0 và b = -1 thì
hoặc

Vậy các cặp số nguyên (x; y) tìm được là: (0; 0), (1; -1), (-1; 1)
0.25


b/
Ta có M =
= abc – a – b – c +

M
Z


Z. Đặt
= k ,( k
Z) (1)
0.25



Vì a, b, c
1 nên từ (1) suy ra k > 0.
Giả sử 1
a