đề thi chuyên toán

SỞ GD VÀ ĐT THANH HOÁ ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG MÔN TOÁN
TRƯỜNG THPT SẦM SƠN Lớp 10 – Năm học 2010-2011
Thời gian 120 phút (không kể thời gian giao đề )
Câu1:( 2,5 điểm) Cho biểu thức
P =
:
-
( Với a > 0 ,b > 0 và a
b)
1, Rút gọn biểu thức P
2, Tìm a , b sao cho b = ( a+1)2 và P =- 1
Câu2:( 2 điểm)
1, Giải phương trình ( x+1)( x+3)(x+5)(x+7) = 9
2, Gọi x1 , x2 là nghiệm của phương trình : x2 + 2010x +1 = 0 và x3 , x4 là nghiệm của phương trình : x2 + 2011x +1 = 0 không giải các phưong trình, hãy tính giá trị của biểu thức : M = (x1 + x3)(x2 + x3) (x1 – x4) (x2 – x4)
Câu3:( 1,5 điểm) Giải hệ phương trình


Câu4:( 3 điểm) Cho đường tròn (C) tâm O đường kính AB , E là một điểm nằm trên đoạn OA , CD là dây cung vuông góc với đương kính AB tại điểm E , M là một điểm bất kỳ trên đoạn AE , đường thẳng DM cắt đường tròn (C) tại N ( khác D ) , đường tròn (C1) tâm O1 bán kính r tiếp xúc trong với (C) tại điểm J thuộc cung nhỏ CN và tiếp xúc với đoạn thẳng CM và MN tại điểm I và K tương ứng . Biết AM = a ; ME = b ; EB = c
1,Chứng minh rằng các tam giác O1KM đồng dạng với tam giác MEC
2, Tính độ dài các đoạn OO1 ; KM ; và O1M theo a,b,c và r
Câu5:( 1 điểm) Cho ba số dương a,b,c thoả mãn điều kiện : abc = 1
Chứng minh rằng :
+
+


dấu bằng xảy ra khi nào ?


















dự kiến đáp án KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG MÔN TOÁN
Lớp 10 TRƯỜNG THPT SẦM SƠN – Năm học 2010-2011
Câu 1:
1) P =
:
-

P =
:
-

P =
:
-

P =
 :
-

P =
 :
-

P =
 .
-

P =  
-

nếu a


thì P =
-
= 0
nếu a < b

thì P =
-
=

vì P = -1 < 0 nên P =
= -1


b =
mà b = (a+1)2


=(a+1)2

= (a+1)

= a vì a > 0
a = 1 ; b = 4
Câu2: 1, Giải phương trình ( x+1)( x+3)(x+5)(x+7) = 9
( x2 +8x +7)( x2 +8x +15) = 9 đặt x2 +8x +7 = t
x2 +8x +15 = t+8
Nên ta có t(t+8) = 9
t2 + 8t – 9 = 0
t = 1 hoặc t =- 9
Vói t =1 ta có x2 +8x +7 = 1
x2 +8x +6 = 0

= 10 phương có hai nghiệm x1=
; x2=

Vói t = -9 ta có x2 +8x +7 = -9
x2 +8x +16 = 0

= 10 phương có hai nghiệm x3= 6 ; x4 = 6 vậy nghiệm của phương trình là S =

2) xét phương trình : x2 + 2010x +1 = 0 có
= 1052 – 1>0 áp dụng hệ thức vi ét ta có

tương tự cho phương trình 2 ta có
mặt khác
M = (
+
+
+
)(
-
-
+
) thay số ta có
M = (1-2010x3+
)(1+2010x4+
)
M = 1-2010x3+
+ 2010x4 – 20102 x4 .x3 +2010x4 .
+
-2010x3.
+
.

M = 1-2010x3+
+ 2010x4 – 20102 +2010x3 +
-2010x4 +1
M = 2 +
+
-20102
M = 2 -20102 +( x3+x4)2 -2x3.x4

M = 2 -20102 +20112 -2 = 20112 – 2010 = 4021 vậy M = 4021
Câu3: Giải hệ phương trình

điều kiện : x
0 ; y
0







đặt a =
; b =
ta có hệ
vậy a ;b là nghiệm của phương trình :
X2 – 5X+6 = 0
Vậy X1 = 2 hoặc X2 =3 suy ra
hoặc
nên

hoặc

Câu4:


Ta có