Đề thi Chuyên Nguyễn Tất Thành - Yên Bái

Một số đề ôn thi vào chuyên toán
Đề số 1
Bài 1: (8 điểm) Cho parabol (P) :
Viết phương trình các tiếp tuyến của (P), biết các tiếp tuyến này đi qua điểm A(2; 1)
Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(2; 1) và có hệ số góc m. Với giá trị nào của m thì đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N, khi đó tìm quĩ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN khi m thay đổi.
Tìm quĩ tích các điểm M0 từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến của parabol (P) và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau.

Bài 2: (4điểm) Giải hệ phương trình:


Bài 3: (8 điểm)
Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định. C là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. ở phía ngoài tam giác ABC, vẽ các hình vuông BCĐề Sẩ và ACFG. Gọi Ax, By là các tiếp tuyến của nửa đường tròn.
Chứng minh rằng khi C di chuyển trên nửa đường tròn đã cho thì đường thẳng ED luôn đi qua một điểm cố định và đường thẳng FG luôn đi qua điểm cố định khác.
Tìm quĩ tích của các điểm E và G khi C di chuyển trên nửa đường tròn đã cho.
Tìm quĩ tích của các điểm D và F khi C di chuyển trên nửa đường tròn đã cho.


Đề số 2
Bài 1: (7 điểm)
Giải phương trình:

Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số không âm và b là số trung bình cộng của a và c thì ta có:


Bài 2: (6 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
.
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:


Bài 3: (7 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R, hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. E là điểm bất kì trên cung AD. Nối EC cắt OA tại M, nối EB cắt OD tại N.
Chứng minh rằng tích
là một hằng số. Suy ra giá trị nhỏ nhất của tổng
, khi đó cho biết vị trí của điểm E ?
Gọi GH là dây cung cố định của đường tròn tâm O bán kính R đã cho và GH không phải là đường kính. K là điểm chuyển động trên cung lớn GH. Xác định vị trí của K để chu vi của tam giác GHK lớn nhất.
Đề số 3

Bài 1: (8 điểm) Cho phương trình
.
Tìm các giá trị của
để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt.
Tìm các giá trị của
để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
và
thoả mãn hệ thức
.
Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm không âm. Tìm giá trị của
để nghiệm dương của phương trình đạt giá trị lớn nhất.

Bài 2: (4điểm) Giải phương trình:
(2)
Bài 3: (8 điểm)
Cho tam giác ABC có góc ABC = 600, BC= a, AB = c (
là hai độ dài cho trước), Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC được gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC.
Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất.