Đề thi chọn HSG Toán 9

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN TÂN KỲ
TRƯỜNG THCS NGHĨA ĐỒNG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 LẦN I
NĂM HỌC 2018-2019
MÔN THI: TOÁN
Thời gian: 150 phút làm bài.


Bài 1: (4 điểm) Cho

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm giá trị của P khi x=0,25.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 2: (5 điểm)
Tính
.
b) Cho x2 – 3x – 1 = 0. Tính giá trị của biểu thức:
.
c) Giải phương trình:
.
Bài 3: (3,0 điểm)
a) Tìm số tự nhiên n bé nhất để: F = n3 + 5n2 – 9n – 45 chia hết cho 239.
Tìm số tự nhiên n để số A = n4 +2n3 – 2n2 + 8 là số chính phương.
Bài 4: (2,0 điểm) Rút gọn các biểu thức:

; c)
;

; d)
.
Bài 5: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.
a) Biết AB = 6cm, HC = 6,4cm. Tính BC, AC.
b) Chứng minh rằng DE3 = BC.BD.CE
c) Đường thẳng kẻ qua B vuông góc với BC cắt HD tại M. Đường thẳng kẻ qua C vuông góc với BC cắt HE tại N. Chứng minh rằng M, A, N thẳng hàng.
d) Chứng minh rằng BN, CM, DE đồng qui.
…………………………HẾT…………………………..
Lưu ý: Thí sinh không được dùng máy tính bỏ túi.



HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG TOÁN LỚP 9
NĂM HỌC 2018-2019


Bài
Nội dung
Điểm

1 (4đ)
ĐKXĐ:

a) .
0,5

2


b) Với
Ta có:

0,5


c)
.
Dấu bằng xảy ra khi
(TMĐKXĐ). Vậy


0,5

0,5

2 (5đ)
 a) Ta có



1



b) Ta có:
x2 – 3x – 1 = 0 ( x2 – 3x = 1 ( (x2 – 3x)2 = 1 ( x4 – 6x3 + 9x2 = 1 ;
Mặt khác:
x2 – 3x – 1 = 0 ( x2 = 3x + 1 ( x4 = (3x + 1)2 = 9x2 + 6x + 1.

.



1,5

0,5


c) ĐK:

Đặt


Suy ra
.
Từ
ta có
. Vì
nên
suy ra
hay là

Do đó

(TM)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất:
.

0,5


0,5
0,5

0,5

3 (3đ)
a) Ta có: F = n3 + 5n2 – 9n – 45 = (n – 3)(n + 3)(n + 5).
Thử với n = 0; 1; 2 thì F đều không chia hết cho 239.
Thử với n = 3 thì F = 0 chia hết cho 239.
Vậy số tự nhiên bé nhất cần tìm là: n = 3.
0,5
0,5
0,5


b) A=
=

Ta có:Với
, không chính phương
Với
là chính phương.
Với n > 1 thì (n-1)2 < (n-1)2 +1= n2 + 2(1-n) < n2 (vì n>1)

(n-1)2 +1 không thể là số chính phương khi n > 1.
Vậy khi n = 1 thì A là số chính phương.
0,5


0,5

0,5

4 (2đ)
Rút gọn các biểu thức:

;

;

;

.

0,5
0,5
0,5
0,5

5 (5đ)


a) Đặt BH = x (0 < x < 6) BC = x + 6,4
AB2 = BH.BC
62 = x(x + 6,4)
x = 3,6

BC = 10cm; AC = 8cm.





0,5









0,5
0,5


b) Chứng minh tứ