Đề thi chọn HSG

Câu I: (4 điểm) Cho biểu thức:


1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tìm giá trị của x để A =
.
Câu II: (4 điểm) Giải các phương trình sau:
1)

2)

Câu III: (4 điểm)
1) a) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình
(m là tham số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất.
2) Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 + 2y2 + 3xy - x - y + 3 = 0
Câu IV: (6 điểm) Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi M là điểm nằm giữa A và B. Qua M vẽ dây CD vuông góc với AB, lấy điểm E đối xứng với A qua M.
1) Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao?
2) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên AC và BC. Chứng minh rằng:


3) Gọi C’ là điểm đối xứng với C qua A. Chứng minh rằng C’ nằm trên một đường tròn cố định khi M di chuyển trên đường kính AB (M khác A và B).

Câu V: (2 điểm)
Cho x, y là các số dương thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:


------------------------- Hết --------------------------
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
















Câu
Ý
Lời giải
Điểm








I
(4.0đ)
1
(2.5đ)




Vậy
với




1.0


1.0
0.5


2
(1.5đ)
 Với
Ta có:


Vậy A =

x =
.




II
(4.0đ)
1
(2.0đ)
ĐK:

+ Sử dụng bất đẳng thức cô si hoặc Bu nhi a đánh giá VT
2
+ Đánh giá VP

Do đó: PT

KL.



2
(2.0đ)
ĐK:
. Ta có:





0.25


0.5
0.25
0.75

0.25






















III
(4.0đ)


1
(2.0đ)
 Với mọi m, đường thẳng (d) không đi qua gốc toạ độ O(0; 0).

m = 4, ta có đường thẳng y = 1, do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (1).

m = 3, ta có đường thẳng x = -1, do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (2).

m
4, m
3 thì (d) cắt trục Oy, Ox lần lượt tại:
và
.
Hạ OH vuông góc với AB, trong tam giác vuông AOB, ta có:



Suy ra
(3).
Từ (1), (2), (3) ta có GTLN của OH là
, đạt được khi và chỉ khi m =
.
Kết luận: m =
.

0.25
0.25

1.0


0.5





2
(2.0đ)
x2 + 2y2 + 3xy - x - y + 3 = 0.

.......
(x + y)(x + 2y - 1) = - 3
Vì x,y nguyên nên x + y và x + 2y - 1 là các ước của - 3.
Ta có bảng sau:
x + y
1
-3
-1
3

x + 2y -1
-3
1
3
-1

x
4
-8
-6
6

y
-3
5
5
-3

Kết luận nghiệm (x; y) là (4; 3), (-8;5), (-6; 5), (4; -3).
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25







IV
(6.0đ)














1
(2.0đ)