Đề thi chọn HSG



I. SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN. TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN

1. Đường tròn
Đường tròn tâm O bán kính R (R > 0) là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng bằng R.
2. Vị trí tương đối của một điểm đối với một đường tròn
Cho đường tròn (O; R) và điểm M.
( M nằm trên đường tròn (O; R) (
.
( M nằm trong đường tròn (O; R) (
.
( M nằm ngoài đường tròn (O; R) (
.
3. Cách xác định đường tròn
Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.
4. Tính chất đối xứng của đường tròn
( Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.
( Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn.

Cho tứ giác ABCD có
. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC và CA. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn.
HD: Chứng minh MNPQ là hình chữ nhật.
Cho hình thoi ABCD có
. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh 6 điểm E, F, G, H, B, D cùng nằm trên một đường tròn.
HD: Chứng minh EFGH là hình chữ nhật, (OBE là tam giác đều.
Cho hình thoi ABCD. Đường trung trực của cạnh AB cắt BD tại E và cắt AC tại F. Chứng minh E, F lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và ABD.
HD: Chứng minh E, F là giao điểm của các đường trung trực tương ứng.
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ đường tròn (I) đường kính OA. Bán kính OC của đường tròn (O) cắt đường tròn (I) tại D. Vẽ CH ( AB. Chứng minh tứ giác ACDH là hình thang cân.
HD: Chứng minh (ADO = (CHO ( OD = OH, AD = CH. Chứng minh HD // AC.
Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) có
, CD = 2AD. Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
HD: Chứng minh
, với I là trung điểm của CD.
Cho hình thoi ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. M, N, R và S lần lượt là hình chiếu của O trên AB, BC, CD và DA. Chứng minh 4 điểm M, N, R và S cùng thuộc một đường tròn.
HD:
Cho hai đường thẳng xy và x(y( vuông góc nhau tại O. Một đoạn thẳng AB = 6cm chuyển động sao cho A luôn nằm trên xy và B trên x(y( . Hỏi trung điểm M của AB chuyển động trên đường nào?
HD:
Cho tam giác ABC có các đường cao BH và CK.
a) Chứng minh: B, K, H và C cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm đường tròn đó.
b) So sánh KH và BC.
HD:

a)
HD:
II. DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN

1. So sánh độ dài của đường kính và dây
Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.
2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây
( Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
( Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
( Trong một đường tròn:
– Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
– Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
( Trong hai dây của một đường tròn:
– Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
– Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.


Cho đường tròn (O; R) và ba dây AB, AC, AD. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của B trên các đường thẳng AC, AD. Chứng minh rằng MN ≤ 2R.
HD: Chứng minh bốn điểm A, B, M, N cùng nằm trên đường tròn đường kính AB ( MN ≤ AB.
Cho đường tròn (O; R). Vẽ hai dây AB và CD vuông góc