Đề thi chọn HSG

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG



KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015 – 2016
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
Ngày thi: 06/04/2016
(Đề thi gồm 01 trang)

Câu I(2,0 điểm)
Cho parabol (P):
và đường thẳng (d) đi qua điểm
và có hệ số góc là
. Gọi A và B là các giao điểm của (P) và (d). Giả sử A, B lần lượt có hoành độ là
.
1) Tìm
để trung điểm của đoạn thẳng AB nằm trên trục tung.
2) Chứng minh rằng

Câu II(3,0 điểm)
1) Giải phương trình:

2) Giải hệ phương trình:

Câu III(4 điểm)
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh
, chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A là điểm
, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm
. Viết phương trình của đường thẳng BC.
2) Cho tam giác ABC có
(b ≠ c) và diện tích là
. Kí hiệu
lần lượt là độ dài của các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C. Biết rằng
.
a) Chứng minh rằng

b) Gọi O và G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm tam giác ABC; M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng góc
không nhọn.
Câu IV(1 điểm)
Cho
là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
-----------------------Hết-----------------------
Họ và tên thí sinh:………………………………..; Số báo danh:……………
Chữ ký của giám thị 1:………………..; Chữ ký của giám thị 2:…………….
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG

HƯỚNG DẪN CHẤM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015 – 2016
MÔN THI: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm … trang)




Câu
Nội dung
Điểm

















I

Cho parabol (P):
và đường thẳng (d) đi qua điểm
và có hệ số góc là
. Gọi A và B là các giao điểm của (P) và (d). Giả sử A, B lần lượt có hoành độ là
.
1) Tìm
để trung điểm của đoạn thẳng AB nằm trên trục tung.
1,0


+ Đường thẳng (d) có pt:

0,25


+ PT tương giao (d) và (P):

0,25


+ (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt
vì

0,25


+ Trung điểm M của AB có hoành độ là
; M nằm trên trục tung


0,25


 2) Chứng minh rằng

1,0


Theo Vi et có:



0,25


Ta có:
=

0,25


Có

0,25



=
,

. Đẳng thức xảy ra khi k = 0
0,25







II




1) Giải phương trình:
(1)
1,5


 Điều kiện:

0,25


(1)



0,25







0,25


Với x=1: VT(*)= 2=VP(*) nên x=1 là một nghiệm của (*)
0,25


Nếu x>1 thì VT(*)<20,25


Nếu x<1 thì vt(*)>2>VP(*). Vậy (1) có 2 nghiệm x=0; x=1
0,25


2) Giải hệ phương trình:

1,5





0,25


Đặt
. Hệ trở thành:
(*)

0,25


Hệ

Từ đó tìm ra

0,25


Với
ta có hệ
.

0,25


Với
ta có hệ
.

0,25


Với
ta có hệ
.
Kết luận: Hệ có 5 nghiệm
.
0,25




III
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh
, chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A là điểm
, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm
. Viết phương trình của đường thẳng BC.
1,5


Đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I và