Đề thi chọn HSG

TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XII ĐỀ THI MÔN TOÁN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HẠ LONG
TỈNH QUẢNG NINH LỚP 10
ĐỀ THI ĐÈ XUẤT (Đề này có 01 trang, gồm 5 câu)

Câu 1 ( 4 điểm)
Giải hệ phương trình:

Giải phương trình sau trên tập số thực

Câu 2 (3 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

.
Câu 3 ( 6 điểm ) Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn (O). B’ là điểm đối xứng với B qua AC. BM là trung tuyến của tam giác ABC, BM cắt (O) tại N. Lấy K sao cho AKCN là hình bình hành. HM cắt (O) tại D. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.
Chứng minh rằng
a, BD, HK, AC đồng quy
b, KB’ cắt AC tại P. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BPC giao AB tại X khác B. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABP giao với BC tại Y khác B. Chứng minh đường tròn (BXY) đi qua điểm K.
Câu 4 (4 điểm) Tìm
nguyên tố thỏa mãn


Câu 5 (3 điểm) Cho 81 số nguyên dương phân biệt sao cho các ước nguyên tố của chúng thuộc tập {2,3,5}. Chứng minh rằng tồn tại 4 số trong 81 số trên mà tích của chúng là lũy thừa bậc 4 của 1 số nguyên nào đó.

.....................HẾT.....................

Người ra đề
Phạm Văn Ninh 0977245380
Đặng Thu Hương 01634029724

HƯỚNG DẪN CHẤM
MÔN: Toán LỚP: 10

Câu
Nội dung
Điểm


1
2 điểm
+ ĐK:

+ Biến đổi (1) được:


1đ
1,0


+ Thế vào (2) ta được:

Áp dụng BĐT Cauchy ta được:



1đ
Suy ra
. Dấu
xảy ra khi và chỉ khi

Vậy nghiệm
cần tìm là
1đ

1,0


 2 điểm
Điều kiện:

Nhận thấy
là một nghiệm của phương trình.
Xét
Khi đó phương trình đã cho tương đương với




1,0


Vì
nên
và
Suy ra
vì vậy


Do đó phương trình

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là
hoặc






2
Ta có


(Bunhiacopski)
1,0


Đặt

Ta có




1,0


Suy ra


Ta có

Suy ra
. Bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi


1,0

3





3 diểm
Kẻ BO cắt (O) tại B’’ . Dễ chứng minh được H, M , B’’ thẳng hàng. Suy ra
.
Có
. Suy ra A, H, K , C nội tiếp một đường tròn, gọi là (I).
1,0


Ta lại có
. Suy ra K thuộc đường tròn đường kính BH, gọi là (J).
1,0


Xét 3 đường tròn (O), (I), (J) có 3 trục đẳng phương là AC, BD, HK. Vậy ta có điều phải chứng minh.(do tam giác ABC không cân).
1,0


b, 3 điểm Gọi AY
= {K’} . Ta đi chứng minh K’
K.
Ta có
. Suy ra K’ thuộc (BXY).

1,0


Lại có
dẫn đến K’ thuộc (YPC).
Có
suy ra K’ , P, B’ thẳng hàng.

1,0


Hơn nữa

Từ đó ta có K’
K. Và có điều phải chứng minh.

1,0

4
Giả sử tồn tại
nguyên tố thỏa mãn
.
Đặt
, suy ra

1,0


Dễ thấy
. Gọi
là ước nguyên tố bất kỳ của
.
Suy ra
. Dễ thấy

Suy ra
. Do đó theo tính chất hệ thặng dư đầy đủ, tồn tại
sao cho

1,0


Đặt
, suy ra

+ Nếu


(vô lý)
Vậy
. Theo định lý Fecma có

1,0


Hay

Do đó ta có

Lại có

Suy ra
(vô lý)
Vậy không tồn tại
nguyên tố thỏa mãn
.
1,0

5
Ta có mỗi số nguyên dương của bài có thể biểu diễn dưới dạng
. Xét đồng dư
modulo