Đề thi chọn HSG

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN TRỰC NINH



(Đề thi gồm 01 trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2017 -2018
MÔN TOÁN LỚP 6
Thi ngày 04 tháng 4 năm 2018
(Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)
-------------------------------

Bài 1 (5,0 điểm). Tính hợp lí
a)

b)

c)

Bài 2 (5,0 điểm)
a) Tìm
biết

b) Cho
thỏa mãn
. Chứng tỏ rằng

c) Tìm số tự nhiên n trong khoảng từ 290 đến 360 để phân số
rút gọn được?
Bài 3 (4,0 điểm)
a) Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho
,
,
đều là số chính phương?
b) Cho

Chứng tỏ rằng
. Tìm chữ số tận cùng của A?
Bài 4 (4,0 điểm)
a) Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2 cm. Lấy điểm C thuộc đường thẳng AB sao cho
. Tính độ dài đoạn thẳng AC?
b) Cho
. Vẽ tia phân giác
của
. Tính số đo góc
?
Giả sử
là tia phân giác của
,
là tia phân giác của
,...,
là tia phân giác của
. Tính số đo góc
?
Bài 5 (2,0 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có

b) Viết số
dưới dạng tổng của một số số nguyên dương. Gọi T là tổng các lập phương của tất cả các số đó. Tìm số dư của T trong phép chia cho 6?
-------------------HẾT--------------------

Họ và tên thí sinh:……………..……............…… Họ, tên chữ ký GT1:……………………..
Số báo danh:……………….……..............……… Họ, tên chữ ký GT2:……………………..


HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 6
Bài1(5,0đ)



a (1,5 đ)


1,5đ

b (1,5 đ)

(Có 50 thừa số -1)
1,0đ




0,5đ

c (2,0đ)


0,5đ




0,5đ




0,5đ




0,5đ

Bài 2(5đ)



a (1,5đ)


0,5đ


Vì
nên
, suy ra
là ước nguyên của 10 và
lẻ
0,25đ


Lập bảng
2y+1
1
-1
5
-5

x-4
10
-10
2
-2

x
14
-6
6
2

y
0
-1
2
-3


0,5đ


Vậy

0,25đ

b (1,5đ)
 Phải chứng minh

Đặt
. Xét tổng

0,25đ


Nếu
, mà

0,25đ


Nếu
. Chứng tỏ

0,25đ


Vì


0,25đ


Nếu

0,25đ


Nếu

0,25đ

c (2,0đ)
Gọi d là ước nguyên tố chung của
và

0,25đ


Ta có:
.
0,5đ


Vì d nguyên tố nên d = 31
0,25đ


Khi đó

0,25đ


Mà
suy ra

0,25đ


Do
, mà k là số tự nhiên nên

0,25đ


Từ đó tìm được

0,25đ

Bài3(4,0đ)



a (1,5đ)
Do
là số chính phương nên khi chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1.
0,25đ


Nếu
thì
chia cho 3 dư 2

chia cho 3 dư 2, vô lí.
Do đó
chia cho 3 sẽ dư 1

0,25đ


Do
là số chính phương lẻ nên
chia cho 8 dư 1, suy ra
, từ đó
.
Do đó
là số chính phương lẻ nên
chia cho 8 dư 1, suy ra

0,25đ


Ta thấy
,
mà
nên
, mà n là số nguyên dương
0,25đ


Với
thì
;
;

0,25đ


Vậy
là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn đề bài.
0,25đ

b (2,5đ)
Ta có
(tổng A có 2018 số hạng,
)
0,25đ




0,25đ





1,0đ