Đề tham khảo dành cho thầy cô kiểm tra chất lượng HSG

Bài 1: (4 điểm) Tính
a) A =


b) B =


Bài 2: (4 điểm) Chứng minh rằng
a)


b)

Khi nào dấu đẳng thức xảy ra?

Bài 2: (6 điểm) Giải phương trình:

a)


b)


Bài 4: (6 điểm)
Cho tam giác ABC có BC = 2a, M là trung điểm của BC. Lấy D, E thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho góc ADM = góc B.
a) Chứng minh rằng góc CME = góc BDM
b) Chứng minh rằng tích BD.CE không đổi.
c) Chứng minh rằng DM là tia phân giác của góc BDE
d) Tính chu vi tam giác AED nếu tam giác ABC là tam giác đều có cạnh là a


------------ HẾT ------------





HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA
Môn: TOÁN



Bài
Đáp án
Biểu điểm

Bài 1a
A =




2 điểm



Bài 1b
B =




2 điểm






Bài 2a



Ta có:
VT =



Suy ra: VT =
= VP
2 điểm


Bài 2b
Ta có:

Suy ra:





Vì
;
;
nên:
(đpcm)
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c



2 điểm





Bài 3a








Điều kiện:



Vậy: S = {6}
3 điểm





Bài 3b


Giải phương trình:
(1)
* Xét khoảng:
:
(1)


(loại)
* Xét khoảng
:
(1)



Phương trình nghiệm đúng với mọi khoảng đang xét
* Xét khoảng:
:
(1)


(loại)
Vậy S =

3 điểm

Bài 4a

 GT

ABC cân tại A
BC = 2a, M
BC, MB = MC
D
AB, E
AC,


 KL
a)

b) Tích BD.CE không đổi
c)

d) C
AED = ? nếu
ABC đều có cạnh bằng 2a







a) Ta có:

Mặt khác:
(Góc ngoài tam giác)
Mà
nên
(đpcm)














1,5 điểm

Bài 4b
b)
Ta có
(
ABC cân tại A)
và
nên
BDM đồng dạng với
CME (g.g)
suy ra
(không đổi)

1,5 điểm


Bài 4c

c)
Ta có:
BDM đồng dạng với
CME (cmt)
Suy ra
(do CM = BM (gt))
Do đó
DME đồng dạng với
DBM
Suy ra:
hay DM là tia phân giác của góc BDE

1,5 điểm

Bài 4d

d) Tương tự ta cũng có EM là phân giác của góc CED
Vẽ MH
DE, MI
AB, MK
AC
Khi đó ta có: DH = DI, EH = EK
Do đó chu vi
ADE = AI + AK = 2AK
Ta lại có: CK =
, AC = 2a nên AK = 1,5a
Suy ra chu vi
ADE = 2AK = 3a

1,5 điểm