De on tap

ĐỀ ÔN TẬP SỐ 3.
Bài 1. Cho các số dương a, b, c, d. Chứng minh rằng trong 4 số

Có ít nhất một số không nhỏ hơn 3.
Bài 2. Giải phương trình:

Bài 3.
Tìm tất cả các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn
.
Tìm tất cả các số thực x sao cho trong 4 số
có đúng một số không phải là số nguyên.
Bài 4. Cho đường tròn (O) bán kính R và một điểm M nằm ngoài (O) .Kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (O) ( A, B là hai tiếp điểm). Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C (C khác A, C khác B). Gọi I; K là trung điểm MA, MC .Đường thẳng KA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D.
Chứng minh
.
Chứng minh tứ giác BCDM là tứ giác nội tiếp.
Gọi E là giao điểm thứ hai của đường thẳng MD với đường tròn (O) và N là trung điểm KE đường thẳng KE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F. Chứng minh rằng bốn điểm I, A, N, F cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 5. Xét hình bên: Ta viết các số 1, 2, 3, 4,.., 9
vào vị trí của 9 điểm trong hình vẽ bên sao cho mỗi số chỉ
xuất hiện đúng một lần và tổng ba số trên một cạnh của
tam giác bằng 18. Hai cách viết được gọi là như nhau
nếu bộ số viết ở các điểm (A; B; C; D; E; F; G; H; K) của
mỗi cách là trùng nhau. Hỏi có bao nhiêu cách viết
phân biệt? Tại sao?

HƯỚNG DẪN GIẢI.
BÀI
NỘI DUNG

1

Giả sử cả bốn số đều nhỏ hơn 3 thì


Mặt khác


Trái điều giả sử suy ra có ít nhất một số không nhỏ hơn 3.

2

ĐKXĐ




3

Giả sử
trong đó
là các số nguyên tố

Tượng tự
trong đó
là các số nguyên tố

Ta có a,d >1
Vì

Chứng minh tương tự
từ giả thiết

Hoặc


Vậy




Nếu
nguyên ta có
mà
đều không là số hữu tỷ do vậy một trong hai số không là số nguyên khi đó

Đặt



Thử lại đúng vậy


4
Hình vẽ




a)
Ta có IM = IA và KM = KC

IK là đường trung bình

.
AC = AB ( 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M) và
OA = OB = R
OM là trung trực của AB




.
Áp dụng định lý py ta go ta có
( vì IM = IA)
Vậy :



b)
Nối KO cắt đường tròn tại Q, P.Ta có KM = KC Suyra





Ta lại có KQ.KP =KD.KA


Vậy tứ giác MDCB nội tiếp.


c)
Gọi L là trung điểm của KD ta có
vì

AE//KM
Mặt khác ta có
nội tiếp
Suy ra
(vì
) hay
nội tiếp
cùng thuộc một đường tròn

5
Hình vẽ





Ta thấy có 2 số là 9 và 8 trong dãy 1, 2 , 3, 4,.., 9
tổng 2 số với 1 bằng 18 ta thấy tại điểm A
(tương tự B, C) không thể điền số 1 vì nếu trái lại
thì B, F phải điền cặp 8, 9; tại C, E điền cặp 8, 9
Điều này vô lí.
Tương tự tại D, E, F cũng không thể
điền số 1 vậy số 1 được điền tại H, G, K
Xét trường hợp số 1 được điền tại G (tương tự tại H, K)
khi đó E điền số 8, F điền số 9 (hoặc ngược lại).
Giả sử tại A điền a; C điền c, D điền d, K điền k tại H điền k+1, tại B điền c +1.
a, d; c+1, k, k+1 phân biệt thuộc

Khi đó

Vậy a=4;c=5;k=2 có 3.2=6 (cách)