ĐỀ NC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG


KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn thi: TOÁN (chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút
Đề thi gồm : 01 trang


Câu I (2,0 điểm)
Phân tích đa thức
thành nhân tử.
Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện
. Tính giá trị của biểu thức:


Câu II ( 2,0 điểm)
Giải phương trình
.
Giải hệ phương trình
.
Câu III (2,0 điểm)
Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn điều kiện
.
Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho
là số hữu tỷ.
Câu IV (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định không đi qua tâm O. Điểm A thay đổi trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
Chứng minh rằng điểm H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Chứng minh
.
Xác định vị trí của điểm A để chu vi của tam giác DEF đạt giá trị lớn nhất.
Câu V (1,0 điểm)
Cho x, y, z là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức


----------------------------Hết----------------------------
Họ và tên thí sinh................................................Số báo danh........................................
Chữ kí của giám thị 1: ................................Chữ kí của giám thị 2: ..............................

ĐÁP ÁN
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn thi: TOÁN (chuyên)


Câu
Ý
Nội dung

I
1
Phân tích
thành nhân tử



Đặt



















I
2




















Tương tự




II
1
Giải phương trình




ĐK:
. Pt











Giải pt
(Loại)



Giải pt
(TM). Vậy x = -2

II
2
Giải hệ phương trình




Hệ

Đặt
ta được hệ




Giải hệ pt này ta được




TH 1.






TH 2.



Vậy hệ pt có tám nghiệm là



III
1
Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn




Pt

Tồn tại x









Do y là số nguyên nên






Vậy các cặp số nguyên cần tìm là


III
2
Tìm các số nguyên tố p sao cho
là số hữu tỷ




là số hữu tỷ










. Thế vào (1) ta được





Giải pt tìm được
(loại) và

Với
. Vậy


IV
1
Chứng minh rằng điểm H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF



Tứ giác DCEH nội tiếp suy ra




Tứ giác DBFH nội tiếp suy ra




Tứ giác BCEF nội tiếp suy ra

Suy ra DH là tia phân giác của góc




Tương tự EH là tia phân giác của góc
. Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.

IV
2
Chứng minh




Vẽ tiếp tuyến xAy của đường tròn (O) tại điểm A
Tứ giác AEHF nội tiếp suy ra

Tứ giác EHDC nội tiếp suy ra





(góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung)



Suy ra




AO ( xAy ( AO ( EF

IV
3
Chứng minh




AO ( EF ( SAEOF =




Tương tự










Vậy chu vi tam giác DEF lớn nhất (
lớn nhất ( khoảng cách từ A đến BC lớn nhất ( A là điểm chính giữa của cung lớn BC.

V

Tìm GTNN của




Ta có




Tương tự suy ra




Đặt






Do đó
. Đẳng thức xảy ra
. Vậy GTNN của S là




Hình vẽ câu a Hình vẽ câu b