ĐỀ HSG LỚP 9

Đề thi chọn HSG Toán 9
Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đề
Câu 1: Cho biểu thức
a) Với giá trị nào của x thì A xác định. b) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất. c) Tìm các giá trị nguyên của x để A nguyên.
Câu 2 : Tìm n nguyên dương thoả mãn :

Câu 3: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và một điểm M di động trên một nửa đường tròn ( M không trùng với A, B). Người ta vẽ một đường tròn tâm E tiếp xúc với đường tròn (O) tại M và tiếp xúc với đường kính AB. Đường tròn (E) cắt MA, MB lần lượt tại các điểm thứ hai là C, D. a) Chứng minh rằng ba điểm C, E, D thẳng hàng. b) Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua một điểm cố định K và tích KM.KN không đổi. c) Gọi giao điểm của các tia CN, DN với KB, KA lần lượt là P và Q. Xác định vị trí của M để diện tích ( NPQ đạt giá trị lớn nhất và chứng tỏ khi đó chu vi ( NPQ đại giá trị nhỏ nhất. d) Tìm quỹ tích điểm E.
Câu 4:
Cho x , y là hai số dương thoả mãn x5+y5 = x3 + y3 . Chứng minh x2 + y2
1 + xy