Đề học sinh giỏi. Cao Thị Thu Trang

sở giáo dục và đào tạo
hải dương
-------------

đề thi chính thức
Kì THI chọn HọC SINH GiỏI TỉNH lớp 9
Năm học 2009-2010
Môn Thi : toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi 28 tháng 3 năm 2010
(Đề thi gồm: 01 trang)




Câu 1 (2 điểm)
a) Cho x là số thực thỏa mãn

Tính giá trị biểu thức:

b) Cho x; y; z là các số thực thỏa mãn

Tính giá trị biểu thức:

Câu 2 (2,5 điểm)
a) Giải hệ phương trình:

b) Giải phương trình

Câu 3 (1,5 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương n để
là số chính phương.
Câu 4 (3 điểm)
Cho đường tròn tâm O và dây AB cố định (O không thuộc AB). P là điểm di động trên đoạn AB (P khác A, B). Qua A, P vẽ đường tròn tâm C tiếp xúc với (O) tại A. Qua B, P vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc với (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N (khác P).
Chứng minh:

Chứng minh:

Chứng minh khi P di động thì N luôn nằm trên một cung tròn cố định.
Câu 5 (1 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

(Với x; y là các số thực dương).






sở giáo dục và đào tạo
hải dương
-------------

Kì THI chọn HọC SINH GiỏI TỉNH lớp 9
Năm học 2009-2010
Môn Thi : toán


Câu
Nội dung
Điểm

Câu 1 (2 đ)
a) Phương trình
có

suy ra tồn tại x thỏa mãn


(do
)
Có







0,25

0,25

0,25

0,25



b) xyz = 2

Từ giả thiết có




0,25

0,5

0,25

Câu 2 (2,5 đ)
a)

Đặt
suy ra có hệ


0,25

0,25






0,25


*

*

0,25


0,25



Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là:



0,25


b) ĐK:

Phương trình đã cho tương đương với:






(vì
nên
)



(thỏa mãn ĐK
)
Nghiệm của phương trình là





0,25


0,25

0,25



0,25

Câu 3 (1,5 đ)
Xét n > 9

Thấy
là số lẻ nên A chia hết cho 29 nhưng không chia hết cho 210 nên A không là số chính phương.
Xét n = 9
là số chính phương.


0,25


0,25


Xét n < 9

Do
là số lẻ và A là số chính phương nên
là số chính phương nên n là số chẵn,
suy ra

Khi đó A chính phương,
chính phương suy ra

là số chính phương.
Nhận xét số chính phương lẻ chỉ có thể tận cùng là 1; 5; 9.
Với n = 2
(loại)
Với n = 4
, thấy B chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 nên B không là số chính phương.
Với n = 6
(loại)
Với n = 8
(loại). Vậy n = 9.



0,25

0,25





0,25

0,25

Câu 4 (3 đ)
a) Có (O) và (C) tiếp xúc trong tại A nên
A, C, O thẳng hàng.
Có (O) và (D) tiếp xúc trong tại B nên
B, D, O thẳng hàng.
Xét (C) có

Có tam giác ACP cân tại C; tam giác AOB cân tại O


(1)
Chứng minh tương tự ta có:

(2)
Từ (1) và (2) suy ra
(đ.p.c.m)





0,