De+Dap vao 10 HaNoi 2015

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
HÀ NỘI Năm học: 2015 - 2016
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút

Bài I. (2,0 điểm)
Cho hai biểu thức
và
với x>0,

Tính giá trị của biểu thức P khi x = 9.
Rút gọn biểu thức Q.
Tìm giá trị của x để biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài II. (2,0 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60km, sau đó chạy xuôi dòng 48km trên cùng một dòng sông có vận tốc của dòng nước là 2km/giờ. Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng 1 giờ.
Bài III. (2,0 điểm)
Giải hệ phương trình

Cho phương trình :
(x là ẩn số).
Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực m.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác có độ dài cạnh huyền bằng 5.
Bài IV. (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Lấy điểm C trên đoạn thẳng AO (C khác A, C khác O). Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K. Gọi M là điểm bất kì trên cung KB (M khác K, M khác B). Đường thẳng CK cắt các đường thẳng AM, BM lần lượt tại H và D. Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai N.
Chứng minh tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh CA.CB=CH.CD.
Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của nửa đường tròn đi qua trung điểm của DH.
Khi M di động trên cung KB, chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Bài V. (0,5 điểm) Với hai số thực không âm a, b thỏa mãn
, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức



-------Hết-----BÀI GIẢI
Bài I. (2,0 điểm)
1) Với x = 9 ta có

2) Với



3)
(Do bất đẳng thức Cosi).
Dấu bằng xảy ra khi x =
. Vậy giá trị nhỏ nhất của
là
.
Bài II. (2,0 điểm)
Gọi
là thời gian tàu tuần tra chạy ngược dòng nước.
Gọi
là thời gian tàu tuần tra chạy xuôi dòng nước.
Gọi V là vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên.
Ta có :
;

Suy ra:
(1)

(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ :

Thế
vào (1) ta được :


(loại) hay
(km/h)

Bài III. (2,0 điểm)
1) Với điều kiện
, ta có hệ đã cho tương đương:




2)
a)

Do đó, phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Ta có
và
. Để
điều kiện là
và


(Điều kiện để S >0, P>0)
Yêu cầu bài toán tương đương :



(Do
và
), m > - 2

m = 2 hay m = -6, m > - 2


Bài IV. (3,5 điểm)
1) Tứ giác ACMD có
Nên tứ giác ACMD nội tiếp
2) Xét 2 tam giác vuông :
và
đồng dạng
(Do có
(góc có cạnh thẳng góc))
Nên ta có

3) Do H là trực tâm của

Vì có 2 chiều cao DC và AM giao nhau tại H , nên AD
BN
Hơn nữa
vì chắn nửa đường tròn đường kính AB.
Nên A, N, D thẳng hàng.
Gọi tiếp tuyến tại N cắt CD tại J ta chứng minh
.
Ta có
cùng chắn cung
.
Ta có
góc có cạnh thẳng góc


Vậy trong tam giác vuông
J là trung điểm của HD.

4) Gọi I là giao điểm của MN với AB. CK cắt đường tròn tâm O tại điểm Q.
Khi đó JM, JN là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.
Gọi F là giao điểm của MN và JO. Ta có KFOQ là tứ giác nội tiếp.
FI là phân giác
.
Ta có


tứ giác KFOI nội tiếp



IK là tiếp tuyến đường tròn tâm O
Vậy