Đề + đáp án HSG toán 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THPT PĐP
THI CHỌN LỚP
NĂM HỌC 2017 - 2018
Môn: Toán – Lớp 10 – THPT

Câu 1. (2,5 điểm)
Cho hàm số
có đồ thị (P) và đường thẳng (d) có phương trình
.
1.Vẽ đồ thị (P)
2.Tìm m để đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho

.
Câu 2. (3,5 điểm)
1.Giải và biện luận phương trình:
𝑚+1
𝑚+2
𝑥
2𝑥+1=𝑚+2
2. Giải phương trình
2
3
𝑥
2−4𝑥+1
13
3
𝑥
2+2𝑥+1=
6
𝑥

3. Giải hệ phương trình

Câu 3. (2,0 điểm)
1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết A(1; -2); B(3; -5) và C(2; 2). Tìm tọa độ điểm E là giao điểm của BC với đường phân giác ngoài của góc A
2. Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB = 2a, đáy lớn BC = 3a; AD = 2a.Gọi I là trung điểm của CD, tính
. Từ đó suy ra góc giữa hai vectơ
𝐴𝐼 và 𝐵𝐷 .
Câu 4(1,5 điểm).
1.Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu:

2.Cho hai điểm A và B cố định. Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện:
MA2 + MB2 = k (với k là số thực dương cho trước)
Câu 5(0,5 điểm).
Giải hệ phương trình:


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THPT PĐP
HƯỚNG DẪN CHẤM
THI CHỌN LỚP
NĂM HỌC 2017 - 2018
Môn: Toán – Lớp 10 – THPT

Câu
Lời giải sơ lược
Điểm

1.1
Vẽ đồ thị
(P)
1.5


Nêu đúng txd, đỉnh I(1; 1), trục đối xứng, chiều biến thiên
Vẽ đúng bảng biến thiên

/
0.5
0.5






0.5




1.2

1.0


Hoành độ giao điểm của d và (P) là nghiệm phương trình:


0,25


Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B ( (1) có hai nghiệm phân biệt (
(*)
Với điều kiện (*), gọi hai giao điểm là
, trong đó
là các nghiệm của (1). Theo định lý Viet ta có:
.
0,25


Ta có:





0,25





Đối chiếu điều kiện (*) ta được m = 4 là giá trị cần tìm.
0,25

2.1
Giải và biện luận phương trình:
𝑚+1
𝑚+2
𝑥
2𝑥+1=𝑚+2
1,5


ĐKXĐ x
1
2

Ta có: (m + 1)(m +2)x = (m + 2)(2x + 1) m + 2)(m - 1)x = m +2
0,5


*Với m = -2 PT có vô số nghiệm
1
2

*Với m = 1 PT vô nghiệm
*Với m ≠ -2 và m ≠ 1 thì 𝑥=
1
𝑚−1

Nếu m = -1 thì PT vô nghiệm
Nếu m ≠ -1 thì PT có 1 nghiệm 𝑥=
1
𝑚−1

0.25
0.25


0.25
0.25

2.2
Giải phương trình
2
3
𝑥
2−4𝑥+1
13
3
𝑥
2+2𝑥+1=
6
𝑥

1,0


Đk x ≠ 0; 1; 1/3
Pt
2
3𝑥−4+
1
𝑥+
13
3𝑥+2 +
1
𝑥=6
0,25


Đặt 3x +
1
𝑥 – 4 = t →
2
𝑡+
13
𝑡+6=6
Giải được t =
1
2 và t = -4
0,25


Với t =
1
2
có 3x +
1
𝑥 – 4 =
1
2→ 6x2 - 11x + 4 = 0 →𝑥=
4
3;𝑥=
1
2

Với t = 4 có 3x +
1
𝑥 – 4 = 4→