Đề, đáp án HSG Quảng Ninh 2004 - 2005

sở giáo dục - đào tạo
quảng ninh
-------- --------
kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
lớp 9 năm học 2004-2005



đề thi chính thức


môn : Toán





(bảng A)

Số BD: ........



Thời gian làm bài : 150 phút

Chữ ký GT 1



(không kể thời gian giao đề)












Bài 1:
1) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n thoả mãn: n2 + 2006 là số chính phương.
2) Giải phương trình: =

Bài 2:
Cho các số thực x, y thoả mãn điều kiện sau:
+ + x2 = + + y2
Chứng minh rằng: x = y

Bài 3:
Gọi a là tham số thực sao cho phương trình x2 - 3ax - a = 0 có hai nghiệm phân biệt là x1 và x2 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

Bài 4:
Gọi O là tâm đường tròn tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ các đường thẳng dA, dB, dC, dD sao cho dA ( OA, dB ( OB, dC ( OC, dD ( OD. Các cặp đường thẳng dA và dB, dB và dC, dC và dD, dD và dA tương ứng cắt nhau tại các điểm K, L, M, N.
1) Chứng minh rằng ba điểm K, O, M thẳng hàng.
2) Đặt OK = k, OL = l, OM = m. Tính độ dài ON theo k, l, m.


Hết -------------------------



hướng dẫn chấm thi HSG tỉnh năm học 2004-2005
môn toán lớp 9 - bảng a
-------------------

Bài
Sơ lược lời giải
Cho điểm

Bài 1.1
3 điểm
Giả sử tồn tại số tự nhiên n thoả mãn n2 + 2006 là số chính phương
thì n2 + 2006 = m2 với m là số tự nhiên => (m-n)(m+n) = 2006 (*).

1,0 đ


Khi đó:
- nếu m và n khác tính chẵn lẽ thì (m-n)(m+n) lẻ . Mâu thuẫn với (*)
- nếu m và n cùng tính chẵn lẽ thì (m-n)(m+n) chia hết cho 4, nhưng 2006 không chia hết cho 4. Cũng mâu thuẫn với (*)
Tóm lại giả sử trên không đúng.
Vậy không tồn tại số tự nhiên n thoả mãn n2 + 2006 là số chính phương.


0,5 đ

1,0 đ

0,5 đ

Bài 1.2
3 điểm
ĐK: x3 + 1 ( 0 (*).
Biến đổi phương trình đã cho (1) <=> =