Đề + ĐAKT phần tiếp tuyến của đường tròn

Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến, tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.
Thời gian làm bài: 90 phút.
Ngày … tháng 12 năm 2011

Bài 1: Cho nửa đường tròn đường kính. Từ A và B kẽ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua M thuộc nửa đường tròn này, kẽ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở C và D.
a) Chứng minh: Tứ giác ABCD là hình thang vuông.
b) Chứng minh: CD = CA + DB.
c) Chứng minh COD = 900 và tích AC. BD = R2.
d) Gọi N là giao điểm của AD và BC. Chứng minh: MN // AC và BD.
Bài 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lấy C
(O), tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại D. Gọi M là trung điểm của AD.
a) Chứng minh:
ABC và
ACD vuông.
b) Chứng minh: MA = MC suy ra MC là tiếp tuyến của (O).
c) Chứng minh: OM
AC tại trung điểm I của AC.
d) Cho BC = R, tính AC, BD, AD theo R.
e) Chứng minh rằng: khi C di chuyển trên (O) thì I thuộc một đường tròn cố định.
Bài 3: Cho (O; 5) và (O`; 3) tiếp xúc ngoài nhau tại A. Một đường thẳng qua A hợp với OO` một góc bằng 300 cắt (O) tại B và (O`) tại C.
a) Chứng minh AOB = AO`C và OB //O`C.
b) Chứng minh tiếp tuyến của (O) tại B và của (O`) tại C thì song song.
c) Tiếp tuyến tại C của (O`) cắt OO` tại D, tính CD và O`D.
d) Đường thẳng DC cắt BO tại E. Tính diện tích tam giác ABE.
Bài 4: Trên đoạn OO` = 10( đvđd) lấy điểm A sao cho OA = 8. Gọi (O) và (O`) là hai đường tròn cùng qua A.
a) Chứng tỏ (O) và (O`) tiếp xúc ngoài nhau.
b) Tiếp tuyến chung ngoài BC ( B
(O); C
(O`)) cắt tiếp tuyến trong qua A tại T. Gọi D là giao điểm của AB và OT, E là giao điểm của AC và O`T. Chứng minh tứ giác ADTE là hình chữ nhật.
c) Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO` và OO` là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm (O), (I), (K) có đường kính lần lượt là BC, CH, BH.
a) Nêu các vị trí tương đối của các đường tròn (O) và (I); (O) và (K); (I) và (K).
b) AB cắt đường tròn đường kính BH tại D, AC cắt đường tròn đường kính CH tại E. Chứng minh: DE = AH.
c) Chứng minh:
AED và
ACB đồng dạng.
d) Chứng minh: DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).
e) Chứng minh:
.
g) Tính tỷ số
.
h) Xác định vị trí điểm A trên nửa đường tròn (O) để ED có độ dài lớn nhất.
Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm chuyển động trên nửa đường tròn đó( M khác A và B). Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc AB tại H. Từ A và B kẽ hai tiếp tuyến AC và BD tới đường tròn tâm M ( C và D là các tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng các điểm C, M, D cùng nằm trên tiếp tuyến cuả đường tròn O tại M.
b) Chứng minh rằng tổng AC + BD không đổi, khi đó tính tích AC.BD theo CD.
c) Giả sử CD cắt AB ở K.
Chứng minh rằng OA2 = OB2 = OH.OK.

-------------*-------------
ĐÁP ÁN
Bài 1:
a) Ax và By là hai tiếp tuyến của đường tròn (O)
Nên Ax
OA và By
OB
Ax // By.
Vậy ACDB là hình thang vuông.
b) Ta có: CA = CM, DB = DM ( Tính chất hai tiếp tuyến
cắt nhau)
CD = CM + DM
CD = CA + DB ( đpcm)
c) Hai tiếp tuyến CA và CM cắt nhau tại C nên CO là phân giác của AOM.
Tương tự do DO là phân giác của BOM.
Mà AOB + MOB = 1800 ( Kề bù)
COM + DOM = 900 Hay COD = 900