DE&DA HSG huyen Yen Thanh mon toan 9

Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành

Đề thi chọn học sinh giỏi huyện năm học 2009 - 2010
Môn: Toán - Lớp 9
Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1. (2điểm)
Cho biểu thức
P =
a, Rút gọn P.
b, Chứng minh rằng, nếu 0 < x < 1 thì P > 0
c, Tìm giá trị lớn nhất của P.

Bài 2. (2điểm)
Cho phương trình
(a là tham số)
a, Tìm điều kiện của x để phương trình có nghĩa.
b, Với giá trị nào của a thì phương trình trên có nghiệm? Tính x theo a.

Bài 3. (2điểm)
a, Với hai bộ số (a1, a2) và (b1, b2) bất kỳ.
Chứng minh rằng (a1b1+ a2b2)2 (a12 + a22)(b12 + b22).
b, Cho x, y 0 và x2 + y2 = 1. Chứng minh rằng x3 + y3 1

Bài 4. (2,5điểm)
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Từ A và B ta vẽ hai dây AC và BD cắt nhau tại N. Hai tiếp tuyến Cx, Dy của đường tròn cắt nhau tại M (C, D là các tiếp điểm). Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC.
a, Chứng minh PN vuông góc với AB.
b, Chứng minh P, M, N thẳng hàng.

Câu 5. (1,5 điểm)
Tìm tất cả các hàm số bậc nhất f(x) và hàm số g(x) thoả mãn các điều kiện:
và

--------------------------Hết-------------------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm







Kỳ thi chọn học sinh giỏi huyện năm học 2009 - 2010
Hướng dẫn chấm toán 9-

Câu
Nội dung
Điểm

1
(2đ)
a, Rút gọn P
P = Không có ĐK – 0.25
=
=
=
b, Với 0 < x < 1 thì và =>
Do đó P = > 0
c, Ta có P =
Nên Pmax = hay

1










0.25
0.25

0.25

0.25


2
(2đ)

a, Phương trình có nghĩa khi và chỉ khi
b,

Do
Khi đó:

0.5








0.25





0.25

0.25










0.25




0.25


0.25


3
(2đ)
a, Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôpxki
b, Vì hai số x, y không âm và thoả mãn x2 + y2 = 1 nên x1 và y1
Vì vậy x3 x2 và y3 y2
Suy ra x3 + y3 x2 + y2 = 1
áp dung BĐT Bunhiacôpxki, ta được
x + y = 1.x + 1.y
(x + y)(x3 + y3) =
Suy ra x3 + y3
1.0

0.25


0.25

0.25

0.25

3
(2,5đ)














a, Trong tam giác APB có: AC BP; BD AP
N là trực tâm của tam giác APB
PN AB (ĐPCM)
b, Gọi I là trung điểm của PN.
Trong tam giác vuông PCN thì CI là trung tuyến
CI = IP = IN IPC cân IPC = ICP
Mặt khác ACO câ