Đề+Đ.Án HSG Toán 9

Phòng GD- ĐT vĩnh tường
Trường THCS vũ di
==========
Đề thi khảo sát học sinh giỏi (10 - 2010)
Môn: Toán 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề )
----------------------------------------------



Bài 1. (1,5 điểm)
Rút gọn các biểu thức sau :
a)A =
+
+
..... +
+

b) B = x3 - 3x + 2000 với x =
+

Bài 2 (2,0 điểm) Giải các phương trình sau:
3x2 + 4x + 10 = 2



x4 - 2y4 – x2y2 – 4x2 -7y2 - 5 = 0; (với x ; y nguyên)
Bài 3: (2,0 điểm)
Chứng minh rằng với hai số thực bất kì
ta luôn có:
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
Cho ba số thực
không âm sao cho
.
Chứng minh:
. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
Với giá trị nào của góc nhọn
thì biểu thức
có giá trị bé nhất ? Cho biết giá trị bé nhất đó.
Bài 4: (1,5 điểm)
Một đoàn học sinh đi cắm trại bằng ô tô. Nếu mỗi ô tô chở 22 người thì còn thừa một người. Nếu bớt đi một ô tô thì có thể phân phối đều tất cả các học sinh lên các ô tô còn lại. Hỏi có bao nhiêu học sinh đi cắm trại và có bao nhiêu ô tô ? Biết rằng mỗi ô tô chỉ chở không quá 30 người.
Bài 5 ( 3,0 điểm )
1)Cho hình thoi ABCD cạnh a , gọi R và r lần lượt là các bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ABC.
Chứng minh :

Chứng minh :
; ( Kí hiệu
là diện tích tứ giác ABCD )
2) Cho tam giác ABC cân tại A có
.Chứng minh :
là số vô tỉ.


===============================================

Phòng GD- ĐT vĩnh tường
Trường THCS vũ di
--------------------
Hd chấm Đề thi khảo sát học sinh giỏi (10 - 2010)
Môn: Toán 9
----------------------------------------------


Bài
Sơ lược lời giải
Cho điểm

Bài 1.b
(1,5 đ)
áp dụng công thức (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b), với a=
, b=

và biến đổi => x3 = 6 + 3x
Suy ra B = 2006

0,75

a

Có A =
+
+
+...+
+

Rút gọn, được A =
.

0,75

Bài 2a
(2,0đ)
Giải, xác định đúng điều kiện:



= 0



(Thỏa mãn)
0,25

0,25



0,25


b
Điều kiện :

Từ (2)
(x2 – 4)(x2 + 4)
kết hợp với (1) và (3) suy ra x = 2
Thay vào (4): y2 – 2y + 1
; Đúng với mọi giá trị của y.
Thay x = 2 vào phương trình và giải đúng, tìm được y = 1,5
Vậy nghiệm của phương trình: (x = 2; y = 1,5)



0.5

0,25


c
Biến đổi đưa được pt về dạng: (x2 – 2y2 – 5)(x2 + y2 +1) = 0

x2 – 2y – 5 = 0
x2 = 2y2 + 5
x lẻ
Đặt x = 2k + 1 ; ( k
)
4k2 + 4k +1 = 2y2 + 5
2y2 = 4k2 + 4k – 4

y2 = 2(k2 + k – 1)
y chẵn
Đặt y = 2n; (n
)
4n2 = 2(k2 + k – 1)
2n2 + 1 = k(k + 1) (*)
Nhìn vào (*) ta có nhận xét: Vế trái nhận giá trị lẻ, vế phải nhận giá trị chẵn (Vì k và k + 1 là hai số nguyên liên tiếp)
(*) vô nghiệm
pt đã cho vô nghiệm
0,25



0