Đề cương ôn thi

§6. TÍNH CHẤT HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU.
Bài 1. Cho đường tròn (𝑂; 5𝑐𝑚) và điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Qua M kẻ hai tiếp tuyến 𝑀𝐴, 𝑀𝐵 tới đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Từ điểm C trên cung nhỏ AB kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt 𝑀𝐴, 𝑀𝐵 lần lượt ở P và Q. Biết 𝐴𝑀⊥𝐵𝑀.
a) Tứ giác 𝑀𝐴𝑂𝐵 là hình gì ? Vì sao ?
b) Tính chu vi ∆𝑀𝑃𝑄 ; c) Tính góc
𝑃𝑂𝑄.
Bài 2. Cho∆𝐴𝐵𝐶 cân ở A. Vẽ đường tròn tâm D đường kính BC cắt AC và AB lần lượt ở E và F. Gọi H là giao điểm của BE và CF. Chứng minh rằng :
a) Bốn điểm A,E,H,F cùng thuộc một đường tròn.
b) DE là tiếp tuyến của đường tròn nói trong câu a).
Bài 3. Cho đường tròn (𝑂; 5𝑐𝑚), đường kính AB, tiếp tuyến Bx. Gọi C là một điểm trên đường tròn sao cho
𝐵𝐴𝐶=30°, tia AC cắt Bx ở E.
a) Chứng minh rằng :
𝐵𝐶
2=𝐴𝐶.𝐶𝐸; b) Tính độ dài đoạn BE.
Bài 4. Cho nửa đường tròn (𝑂), đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến xy của nửa đường tròn. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A và điểm B trên xy. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C xuống AB. Chứng minh :
C là trung điểm của MN; b)
𝐶𝐻
2=𝐴𝑀.𝐵𝑁.
Bài 5. Cho đường tròn (𝑂) và đường thẳng (d) không giao nhau. Dựng tiếp tuyến của đường tròn (𝑂) sao cho tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d).
Bài 6. Cho đường tròn (𝑂) và điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Qua M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (𝑂); A, B là các tiếp điểm sao cho
𝐴𝑀𝐵=90°. Qua điểm C trên cung nhỏ AB kẻ tiếp tuyến với đường tròn (𝑂) cắt MA và MB lần lượt ở P và Q. Chứng minh rằng :

1
3
𝑀𝐴+𝑀𝐵<𝑃𝑄
1
2
𝑀𝐴+𝑀𝐵.
Bài 7. Cho nửa đường tròn (𝑂), đường kính AB, hai tiếp tuyến 𝐴𝑥, 𝐵𝑦. Trên 𝐴𝑥, 𝐵𝑦 lấy theo thứ tự hai điểm C và D. Biết 𝐴𝐶+𝐵𝐷=𝐶𝐷. Chứng minh rằng :
a)
𝐶𝑂𝐷=90°;
b) Đường thẳng AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆𝐶𝑂𝐷, còn đường thẳng CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 8. Cho
𝑥𝐴𝑦 khác góc bẹt. Chứng minh rằng: Có thể tìm được vô số các điểm B và C trên hai cạnh Ax, Ay sao cho chu vi ∆𝐴𝐵𝐶 luôn luôn bằng 2𝑙 (với 𝑙 là một độ dài cho trước).
Bài 9. Cho đường tròn (𝑂; 6𝑐𝑚) và dây 𝐴𝐵=10𝑐𝑚. Gọi M là một điểm trên đường thẳng AB và M nằm bên ngoài đường tròn (O). Tìm khoảng cách từ M đến đến trung điểm của AB khi góc xen giữa hai tiếp tuyến kẻ từ M bằng :
a) 60°. b) 90°.
Bài 10. Cho nửa đường tròn (𝑂), đường kính AB, tiếp tuyến 𝐴𝑥. Qua điểm C trên nửa đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt 𝐴𝑥 ở M. Kẻ 𝐶𝐻⊥𝐴𝐵 cắt BM ở I. Chứng minh: I là trung điểm của CH;
Bài 11. Cho∆𝐴𝐵𝐶 có 𝐵𝐶=10𝑐𝑚, 𝐶𝐴=12𝑐𝑚 và 𝐴𝐵=14𝑐𝑚. Tính khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp và trọng tâm của tam giác.
Bài 12. Cho∆𝐴𝐵𝐶 có 𝐵𝐶<𝐴𝐶, trung tuyến CD. Đường tròn nội tiếp các tam giác ∆𝐴𝐶𝐷 và ∆𝐵𝐶𝐷tiếp xúc với CD lần lượt ở E và F. Chứng minh rằng: 2𝐸𝐹=𝐴𝐶−𝐵𝐶.
Bài 13. Cho ∆𝐴𝐵𝐶 vuông ở A. Đường tròn (O) nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt ở D và E.
a) Tứ giác 𝐴𝐷𝑂𝐸 là hình gì ? Vì sao ?
b) Tính bán kính đường tròn (O), biết 𝐴𝐵=5𝑐𝑚; 𝐴𝐶=12𝑐𝑚.
Bài 14. Cho ∆𝐴𝐵𝐶 có 𝐵𝐶=𝑎, 𝐶𝐴=𝑏và 𝐴𝐵=𝑐. Gọi 𝑟 là bán kính đường tròn nội tiếp, S là diện tích của tam giác. Chứng minh: 𝑆
𝑟
𝑎+𝑏+𝑐
2.