Đề cương ôn thi

PHẦN ĐẠI SỐ
CHƯƠNG IV: BẤT ĐẲNG THỨC-BẤT PHƯƠNG TRÌNH
§1: BẤT ĐẲNG THỨC
A. TÓM TẮC LÝ THUYẾT.
Điều kiện
Nội dung


Cộng hai vế với số bất kì





Nhân hai vế
một số dương:







một số âm:






Cộng vế theo vế các BĐT cùng chiều





Nhân từng vế BĐT khi biết nó dương





Nâng lũy thừa với

Mũ lẻ






Mũ chẵn





Lấy căn hai vế








a bất kỳ






Nghịch đảo
Nếu a, b cùng dấu:







Nếu a, b trái dấu:








BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (AM – GM)

(
thì ta có:
Dấu
xảy ra khi và chỉ khi

(
thì ta có:
Dấu
xảy ra khi và chỉ khi


BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACÔPXKI (CAUCHY SCHWARZ)

(
thì:
Dấu
xảy ra khi

(
thì:

Dấu
xảy ra khi và chỉ khi


(
và
thì
Dấu
xảy ra khi

(
và
thì
Dấu


BẤT ĐẲNG THỨC VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI





BẤT ĐẲNG THỨC VỀ CẠNH CỦA TAM GIÁC

 Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, ta có:
+ a, b, c > 0.
+
;
;
.



B. BÀI TẬP TỰ LUẬN.
Bài 1: Cho a, b, c, d, e ( R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
b)

c)
d)

HD: a) (
b) (

c) (
d) (

Bài 2: Cho a, b, c ( 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
b)

c)
d)
; với a, b, c > 0.
HD: a)
( đpcm.
b)
( đpcm.
c) (

(
(

(

d)
,
,
(đpcm
Bài 3: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh:
a)

b)

c)

d)

HD: a) Sử dụng BĐT tam giác, ta có:
.
Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm.
b) Ta có:
.
Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm.
c) (
.
d) (
.
Bài 3: Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN của các biểu thức sau:
a)
. b)
.
HD: a) Miny = 6 khi x = 6 b) Miny =
khi x = 3
Bài 4: Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN của các biểu thức sau:
a)
b)

HD: a) Maxy = 16 khi x = 1 b) Maxy = 9 khi x = 3
c) Maxy =
khi x =
d) Maxy =
khi x =

C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
Cho bất đẳng thức
. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
A.
. B.
. C.
. D.
.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
với
là:
A.
. B.
. C.
. D.
.
Cho biểu thức
. Kết luận nào sau đây đúng?
A.Hàm số
chỉ có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất.
B.Hàm số
chỉ có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất.
C. Hàm số
có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất.
D. Hàm số
không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất.
Cho hàm số
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
có giá trị nhỏ nhất là
, giá trị lớn nhất bằng
.
B.
không có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất bằng
.
C.
có giá trị nhỏ nhất là
, giá trị lớn nhất bằng
.
D.
không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất.