Đề cương ôn thi

Chương 4. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
§1. BẤT ĐẲNG THỨC
1. Tính chất
Điều kiện
Nội dung



a < b ( a + c < b + c
Cộng hai vế của bất đẳng thức với một số

c > 0
a < b ( ac < bc
Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số

c < 0
a < b ( ac > bc



a < b và c < d ( a + c < b + d
Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều

a > 0, c > 0
a < b và c < d ( ac < bd
Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều

n nguyên dương
a < b ( a2n+1 < b2n+1
Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa


0 < a < b ( a2n < b2n


a > 0
a < b (

Khai căn hai vế của một bất đẳng thức


a < b (




2. Bất đẳng thức Cô-si
Định lí:Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng


Đẳng thức
xảy ra khi và chỉ khi

Các hệ quả:
Hệ quả 1:Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng



Hệ quả 2:Nếu
cùng dương và có tổng không đổi thì tích
lớn nhất khi và chỉ khi

Hệ quả 3:Nếu
cùng dương và có tích không đổi thì tổng
nhỏ nhất khi và chỉ khi

3. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
Điều kiện
Nội dung





a > 0












Dạng1. SỬ DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

Sử dụng các tính chất của bất đẳng thức để biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh thành một bất đẳng thức luôn luôn đúng.
Chú ý . Các bất đẳng thức luôn luôn đúng
●

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a= 0 và b=0
●

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a= b
●

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a= - b


Bài 1.Cho a,b là hai số dương . Chứng minh :

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Bài 2.Chứng minh rằng :



Dấu “=” xảy ra khi nào ?

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
TRắC NGHIệM

Câu 1: Với a là số thực bất kì, biểu thức nào sau đây luôn dương với mọi a :
A. a2 +2a+1 B. a2 +a+1 C. a2 -2a+1 D. a2 +2a-1
Câu 2 : Với a là số thực bất kì, biểu thức nào sau đây có thể nhận giá trị âm :
A. a2 +2a+1 B. a2 +a+1 C. a2 -2a+1 D. a2 +2a-1
Câu 3 : Cho hai số thực bất kì a và b với a>b , bất đẳng thức nào sau đây sai :
A. a4 > b4 B. -2a+1< -2b+1 C. b-a < 0 D. a-2 > b-2
Câu 4. Tìm mệnh đề đúng
A.
B.
C.
D.

Câu 5. Tìm mệnh đúng
A.
( ac > bd B.
(
C.
D.
( ac > bd
Câu 6. Tìm mệnh đề sai
A.
B.
C.
D.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dạng 2. ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN ( Bất đẳng thức Cô si )

Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân( bất đẳng thức Cô-Si)
Nếu a( 0 , b(0, ta có

Hay




Bài 1.Cho a, b là hai số dương. Chứng minh rằng:

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Bài 2.Cho hai số không âm
. Chứng minh:
.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Bài 3.Cho a, b là hai số thực dương. Chứng minh rằng:
.
Đẳng thức xảy ra khi nào?
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Bài 4.Cho hai số dương a, b. Chứng minh rằng:
.
Đẳng thức xảy ra khi nào?
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Bài 5.Cho a,b,c là ba số dương . Chứng minh: (a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc với a,b,c≥0
Dấu “=”xảy ra khi nào ?
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Bài 6.