De 77THTT

toán gửi Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ
Chuyên mục “Đề ra kỳ này”


187B GIẢNG VÕ, HÀ NỘI



Đề toán:

Tìm các tam giác có độ dài ba cạnh là các số nguyên dương và đường tròn nội tiếp có bán kính bằng 2.










Quy , ngày 01 tháng 03 năm 2010
Người gửi: BÙI VĂN CHI
Tp.Quy Nhơn, tỉnh Bình Định
ĐT: 0563828529
Email: [email protected]





LƯỢC GIẢI :

Tìm độ dài các cạnh của tam giác












Gọi độ dài ba cạnh của tam giác ABC là :
BC = a, CA = b, AB = c (a, b, c ( N*), đặt p =
.
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (O),
Ta có: AE = AF = x, BD = BF = y, CD = CE = z.
Khi đó: x =
= p – a,
y =
= p – b,
z =
= p – c
Suy ra: x + y + z = (p – a) + (p – b) + (p – c) = 3p – (a + b + c) = 3p – 2p = p.
Từ hai công thức về diện tích tam giác suy ra:
S = pr =
.
Thay r = 2 vào đẳng thức và rút gọn:
(p-a)(p-b)(p-c) = 4p ( xyz = 4(x+y+z) (1)
Do a, b, c ( N* nên từ các đẳng thức trên suy ra x, y, z đồng thời là các số nguyên dương hoặc nửa nguyên dương.
Nhận thấy nếu x có dạng m +
(m ( N*) thì do x + y = c ( N* nên y có dạng n +

(n ( N*), x + z = b nên z có dạng k +
(k ( N*).
Ta chứng minh x, y, z là các số nguyên dương bằng phản chứng. Giả sử:

, suy ra 2x, 2y, 2z là các số lẻ.


Biến đổi đẳng thức (1):
(1) ( 8xyz = 32(x + y + z) ( 2x.2y.2z = 16.2(x + y + z) = 16(a + b + c): điều này vô lý
vì vế trái là số lẻ còn vế phải là số chẵn.
Do đó x, y, z là các số nguyên dương.
Vì x, y, z có vai trò như nhau nên không mất tính tổng quát, ta giả sử x ( y ( z ( 1.
Khi đó từ đẳng thức (1) ta có:
xyz = 4(x + y + z) ( 4.3x = 12x
yz ( 12.
Mặt khác, xyz = 4(x + y + z) > 4x
yz > 4, do đó 5 ( yz ( 12.
+) Trước tiên ta xét chi tiết trường hợp yz = 5:
Với yz = 5 suy ra y = 5, z = 1 (do y ( z), ta có:
(1) ( 4(x + 5 + 1) = 5x ( x = 24, khi đó p = x + y + z = 24 + 5 + 1 = 30, ta có:
x = p – a ( 24 = 30 – a ( a = 6
y = p – b ( 5 = 30 – b ( b = 25
z = p – c ( 1 = 30 – c ( c = 29
Dễ dàng thử lại bộ giá trị ba cạnh của tam giác là: 6; 25; 29 thỏa mãn các điều kiện bài toán.
+) Các trường hợp còn lại của tích yz, kết hợp đẳng thức (1), ta lập bảng giá trị để tính x, y, z và a, b, c rồi chọn giá trị thích hợp:


yz
5
6
6
7
8
8
9
9
10
10
11
12
12
12

y
5
6
3
7
8
4
9
3
10
5
11
12
6
4

z
1
1
2
1
1
2
1
3
1
2
1
1
2
3

x
24
14
10


9
6
8










4



a
6
7
5
/
9
6
10
/
/
/
/
/
8
/