De 62 TH&TT

Đề toán gửi Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ
Chuyên mục “Đề thi vào lớp 10”

187B GIẢNG VÕ, HÀ NỘI


SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN
NĂM HỌC 2009 – 2010

Đề chính thức Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 18/06/2009
Thời gian: 150 phút

Bài 1. (1,5 điểm)
Cho P =

a. Rút gọn P
b. Chứng minh P <
với mọi x ( 0 và x ( 1

Bài 2.(2 điểm)
Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x + m – 3 = 0 (1)
a. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
b. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x12 + x22.
c. Tìm hệ thức giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m.

Bài 3. (2,5 điểm)
Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước trong 6 giờ thì đầy bể. Nếu để riêng vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ, sau đó đóng lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 3 giờ nữa thì được
bể. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu?

Bài 4. (3 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O), I là trung điểm của BC, M là một điểm trên đoạn CI (M khác C và I). Đường thẳng AM cắt (O) tại D, tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AIM tại M cắt BD tại P và cắt DC tại Q.
a. Chứng minh DM.AI = MP.IB
b. Tính tỉ số


Bài 5. (1 điểm)
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điểu kiện a + b + c = 3. Chứng minh rằng:




GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN
THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN BÌNH ĐỊNH
MÔN TOÁN NĂM HỌC 2009 – 2010
Ngày thi: 18/06/2009 – Thời gian: 120 phút

Bài 1. (1,5 điểm)
a) Rút gọn: P =
(x ( 0, x ( 1)
Biến đổi: P =
=
=
=
=
(x ( 0, x ( 1)
Vậy P =
(x ( 0, x ( 1)
b) Chứng minh P <
(( x ( 0, x ( 1)
Biến đổi tương đương:
P =
(x ( 1): BĐT đúng.
Vậy P <
.

Bài 2. (2 điểm)
a) Chứng minh phương trình x2 – 2(m – 1)x + m – 3 = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt
Ta có: (’ = (m – 1)2 – (m – 3) = m2 – 3m + 4 =
, ( m
Do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt, ( m.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x12 + x22
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
x1 + x2 = 2(m – 1), x1.x2 = m – 3
Do đó P = x12 + x22 =
=
= 4m2 – 10m + 10 =
, ( m
Vậy Pmin =

c) thức giữa x1, x2
Ta có: S = x1 + x2 = 2(m – 1), P = x1.x2 = m – 3
m = P + 3
Do đó S = 2(P + 3 – 1) = 2P + 4 ( S – 2P = 4 ( x1 + x2 – 2x1.x2 = 4.
Vậy x1 + x2 – 2x1.x2 = 4.

Bài 3. (2,5 điểm)
Gọi x(h) là thời gian vòi I chảy đầy bể một mình (x > 6),
y(h) là thời gian vòi II chảy đầy bể một mình (y > 6).
Theo điều kiện bài toán ta có hệ phương trình:

(

Vậy thời gian chảy đầy bể một mình của vòi I là 10(h), của vòi II là 15(h).

Bài 4. (3 điểm)
a) Chứng minh DM.AI = MP.IB
Xét hai tam giác DMP và CIA, có:




Do đó (DMP (CIA (g.g)
Suy ra

DM.IA = MP.CI
Vì IC = IB nên DM.IA = MP.IB (1)