De 61 TH&TT

Đề toán gửi Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ
Chuyên mục “Đề thi vào lớp 10”

187B GIẢNG VÕ, HÀ NỘI


SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN
NĂM HỌC 2009 – 2010

Đề chính thức Môn thi: TOÁN (chuyên)
Ngày thi: 19/06/2009
Thời gian: 150 phút

Bài 1. (1,5 điểm)
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:



Bài 2. (2 điểm)
Cho 3 số phân biệt m, n, p. Chứng minh rằng phương trình
có hai nghiệm phân biệt.

Bài 3. (2 điểm)
Với số tự nhiên n, n ( 3. Đặt Sn =
.
Chứng minh rằng Sn <

Bài 4. (3 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O có độ dài các cạnh BC = a, AC = b, AB = c.
E là điểm nằm trên cung BC không chứa điểm A sao cho cung EB bằng cung EC. Nối AE cắt cạnh BC tại D.
a. Chứng minh: AD2 = AB.AC – DB.DC
b. Tính độ dài đoạn AD theo a, b, c.

Bài 5. (1,5 điểm)
Chứng minh rằng:
với mọi số nguyên dương m, n.



GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN
THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN BÌNH ĐỊNH
MÔN TOÁN CHUYÊN NĂM HỌC 2009 – 2010
Ngày thi: 19/06/2009 – Thời gian: 150 phút

Bài 1. (1,5 điểm)
Chứng minh:
(với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác).
Ta có:
, (với 0 < m < n, k > 0) (1)
Thật vậy, (1) ( 0 < m(n + k) < n(m + k) ( 0 < mk < nk ( 0 < m < n
Áp dụng: 0 < a < b + c


0 < b < c + a


0 < c < a + b


Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên :
(2)
Ta chứng minh bất đẳng thức phụ:
(x, y, z > 0) (3)
(3) (
( 9: đúng
Thay x = a + b, y = b + c, z = c + a vào (2):

(
(
(
(4)
Từ (3), (4) suy ra:
.
Bài 2.(2 điểm)
Chứng minh phương trình
(1)
có hai nghiệm phân biệt (( m (n ( p)
Điều kiện xác định của phương trình: x ( m, n, p.
Biến đổi tương đương:
(1) (

( 3x2 – 2x(m + n + p) + mn + np + mp = 0
(’ = (m + n + p)2 – 3(mn + np + mp) = m2 + n2 + p2 – mn – np – mp =
> 0 (vì m ( n ( p)
Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
Bài 3.(2 điểm)
Chứng minh Sn =
, ( n ( N, n ( 3
Ta có:
( (2n + 1)2 > 4n(n + 1) ( 4n2 + 4n + 1 > 4n2 + 4n
Do đó:
=
=
=
(1)
Cho n lần lượt lấy các giá trị từ 1 đến n, thay vào (1), rồi cộng vế theo vế các bất đẳng thức tương ứng, ta có:
Sn =
<
<
=
.
Vậy Sn <
, ( n ( N, n ( 3.
Bài 4. (3 điểm)
a) minh: AD2 = AB.AC – DB.DC
Xét hai tam giác ABD và AEC, ta có:

(AD là phân giác góc A)

(góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
Do đó (ABD (AEC (g.g)
Suy ra
( AD.AE = AB.AC
Mặt khác, (ABD (CED (g.g),
nên

BD.DC = DA.DE
Từ đó: AB.AC – BD.DC = AD.AE – DA.DE = AD(AE – DE) = AD2
Vậy AD2 = AB.AC – DB.DC (1)
b) Tính AD theo a,