De 59 TH&TT

Bài toán gửi Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ
Chuyên mục “Đề ra kỳ này”

187B GIẢNG VÕ, HÀ NỘI




Bài toán:

Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh thỏa hệ thức:
b + c = 2a.
(a ( b ( c, a = BC, b = CA, c = AB).
Gọi G là trọng tâm, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Chứng minh IG song song với BC.











Quy Nhơn, ngày 14 tháng 02 năm 2009
Người gửi: BÙI VĂN CHI
Giáo viên Trường THCS LÊ LỢI
Tp. Quy Nhơn, Tỉnh Bình Định
ĐT: 056828529
E-mail: [email protected]


LƯỢC GIẢI:
Chứng minh IG // BC

Không mất tính tổng quát, giả sử c < a.
(Trường hợp a < c, chứng minh tương tự)
Gọi D là trung điểm của AC.
Trên đoạn DC lấy điểm F sao cho
Ta có: AD = DC = DF = FC =
Gọi BE là phân giác góc B (E ( AC).
Điểm E nằm giữa A, D;
D nằm giữa E, F
Theo tính chất đường phân giác
trong tam giác ABC, ta có:


Vì CI là phân giác trong tam giác BCE nên:
(1)
Ta có: ED = AD – AE =
EF = ED + DF =
(2)
Từ điều kiện giả thiết bài toán, ta có:
b + c = 2a 2a – c = b (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra:
IF // BC (theo định lý Ta lét đảo) (*)
Mặt khác, G là trọng tâm của tam giác ABC nên:
Do đó suy ra FG // BC (**)
Từ (*), (**) suy ra I, G, F thẳng hàng.
Vậy IG // BC.



Quy Nhơn, ngày 14 tháng 02 năm 2009
Người gửi: BÙI VĂN CHI
Giáo viên Trường THCS LÊ LỢI
Tp. Quy Nhơn, Tỉnh Bình Định