Dãy số bí ản Fibonacci

Dãy số Fibonacci – những điều bí ẩn và lý thú
Giới thiệu :
Trong một số bài tập số học ở lớp 4, 5 hoặc lớp 6 HS đã gặp dãy số:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ……
Với câu hỏi “tìm qui luật lập dãy số hoặc tìm số thứ n của dãy”.
Leonardo Fibonacci
Bài này sơ lược giới thiệu lịch sử và vài nét bí ẩn kỳ thú xung quanh dãy số.
I./Lịch sử: Dãy số Fibonacci là dãy số như thế nào?
Dãy số Fibonacci rất đặc biệt này được một người Ý tên là Leonardo Fibonacci (1170 – 1240) công bố năm 1202 và được biến hóa hầu như vô tận. Chính điều đó, đã thu hút được rất nhiều sự quan tâm, làm chúng ta say mê nghiên cứu, khám phá các tính chất của nó.
Fibonacci xét bài toán :
Loài ong có thể thụ tinh đơn tính hoặc lưỡng tính. Giả sử :
Nếu một trứng ong thụ tinh bởi chính con ong cái nó nở thành một con ong đực. Tuy nhiên, nếu một trứng thụ tinh bởi một ong đực nó nở thành một con ong cái. Như vậy một con ong đực sẽ luôn có một mẹ, và một con ong cái sẽ có cả bố và mẹ.
Ta bắt đầu tính số các con ong tổ tiên của một con ong đực.
Xét một con ong đực ở thế hệ thứ n.
Trước một đời, thế hệ n-1: Con ong đực chỉ có một mẹ (1 ong cái).
Trước hai đời, thế hệ n-2: Con ong cái đời n-1 có 2 bố mẹ, một ong bố (đực) và một ong mẹ (cái)(2 con ong: 1 đực+ 1 cái)) .
Trước ba đời, thế hệ n-3: Con ong cái thế hệ n-2 lại có hai bố mẹ, một ong bố (đực) và một mẹ (cái), và con đực thế hệ n-2 có một mẹ (3 con ong: 1 ong đực + 2 ong cái)
Trước bốn đời, thế hệ n-4: Hai con cái, mỗi con có 2 cha, mẹ và mỗi con đực có một mẹ (5 con ong: 2 ong đực 3 ong cái)
Tiếp tục quá trình này ta sẽ có một dãy số Fibonacci.
* Bại toán tương tự :
Giả sử có một cặp thỏ mắn đẻ cứ cuối mỗi tháng lại sinh ra một cặp mới. Nếu mỗi cặp mới đó cũng lại đẻ sau một tháng và nếu không có con nào bị chết thì sau một năm có bao nhiêu cặp thỏ?
Và đó là tiền thân của dãy số được xác định bằng cách liệt kê các phần tử như sau:
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 …
Trong đó: các phần tử nằm trong dãy số này luôn luôn bằng tổng của 2 số liền trước nó. Nếu lấy tổng hay hiệu của các số liên tiếp bạn sẽ được một dãy số tương tự.
II./ Dãy số Fibonacci có gì đặc biệt?
Người ta chứng minh được công thức tổng quát cho dãy Fibonacci là:




1. Điều đặc biệt đầu tiên:

Xếp các hình vuông có các cạnh là các số Fibonacci
Gọi An là số hạng thứ n trong dãy số, ta có:
An x An+1 = An-1 x An+2 ± 1
An x An+1 = An-2 x An+3 ± 2
An x An+1 = An-3 x An+4 ± 6
An x An+1 = An-4 x An+5 ± 15
Chúng ta hãy thử lại đẳng thức đầu tiên bằng cách chọn một số An bất kỳ (An là số ở vị trí thứ n của chuỗi), chẳng hạn 34. Ở đây, An = 34 (n = 9), An+1 = 55 , An-1 = 21 , An+2 = 89 . Ta có: 34 x 55 = 21 x 89 + 1. Các đẳng thức này được áp dụng trong toàn dãy số.
Lấy một cặp số bất kỳ khác, chẳng hạn 3 x 5 = (2 x 8 ) – 1.
Nếu lấy thêm các ví dụ khác nữa, bạn sẽ nhận ra rằng nếu n là số chẵn ta cộng 1. Nếu n là số lẻ ta trừ đi 1.
Bây giờ, ta xem xét đẳng thức thứ hai:
An x An+1 = An-2 x An+3 ± 2
Chọn An = 8, do đó 8 x 13 = 3 x 34 + 2. Tiếp theo chọn An = 34, ta có 34 x 55 = 13 x 144 – 2. Cũng tương tự như trên ta trong trường hợp An= 8 thì n =6 (chẵn) nên cộng 2, còn An = 34 thì n