Dãy số

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK-------------------------------------------------------------------------------------
TOÁN 1 ? HỌC KỲ 1 0708
BÀI 1: DÃY SỐ. GIỚI HẠN DÃY SỐ (SV)

TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (9/2007)
NỘI DUNG---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1- KHÁI NIỆM DÃY SỐ
2- DÃY TĂNG, GIẢM, BỊ CHẶN, DÃY CON
3- GIỚI HẠN DÃY SỐ
4- TÍNH CHẤT GIỚI HẠN
5- TIÊU CHUẨN WEIRSTRASS: DÃY ĐƠN ĐIỆU, BỊ CHẶN
6- GIỚI HẠN KẸP
KHÁI NIỆM GIỚI HẠN (PHỔ THÔNG ? ĐẠI HỌC) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giới hạn: Khái niệm cơ bản của Giải tích. ?Không có giới hạn thì giải tích không tồn tại. Mỗi khái niệm của giải tích đều là giới hạn theo một nghĩa nào đó?
Đạo hàm (theo định nghĩa): giới hạn ?y / ?x
Ứng dụng hình học: Hsgóc tiếp tuyến = lim Hsgóc dây cung
Ứng dụng vật lý: Vận tốc tức thời = lim Vận tốc trung bình
Độ dài đường cong = lim độ dài đường gấp khúc nội tiếp
Diện tích hình thang cong (tích phân) = lim S hình chữ nhật
DÃY SỐ THỰC ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tập hợp vô hạn các số được đánh số từ 1 đến ?: x1, x2 ? xn ? ? Dãy số {xn}n ? 1 (hoặc từ 0 đến ?: x0, x1 ? xn ? ? {xn}n ? 0)
VD: Dãy số nguyên dương:1, 2, 3, 4 ? Dãy số chẵn: 2, 4, 6 ?
Câu hỏi: Tìm số hạng cuối cùng của 1 dãy số?
Thông thường, dãy số được xác định theo 1 công thức tổng quát dành cho số hạng thứ n
VD: Dãy
xn-1: số hạng thứ n của {xn}n ? 0 !
CÔNG THỨC TỔNG QUÁT ? SỐ HẠNG THỨ n ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
VD: Tìm số hạng tổng quát (số hạng thứ n) của các dãy {xn}n?1:
1/ Dãy hằng 1, 1 ? 1 ?: Hữu hạn giá trị & vẫn vô hạn phần tử
2/ Dãy các số nguyên tố: 1, 2, 3, 5 ? : Công thức tổng quát?
Có thể xem dãy số {xn} với số hạng tổng quát: xn = f(n) như hàm số từ tập số nguyên dương N* ? R.
VD: Dãy số chính phương 1, 4, 9, 16 ? ? xn = n2 ? f(x) = x2
ĐS:
Maple: > n^2 $n = 1..5;
> array( [ [n, n^2]$ n = 1 .. 5 ]);
DÃY TĂNG ? GIẢM: ĐƠN ĐIỆU ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
?xn? TĂNG: xn ? xn+1 ? n ? 1. Tổng quát: xn ? xn+1 ? n ? N0
VD:
?xn? GIẢM: xn ? xn+1 ? n ? 1. Tổng quát: xn ? xn+1 ? n ? N0
Dãy ?xn? LUÔN tăng hoặc LUÔN giảm (từ N0 nào đó): dãy ĐƠN ĐIỆU
DÃY BỊ CHẶN ? DÃY CON ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
?xn? ? Dãy con
VD: Dãy
?xn? bị chặn trên: xn ? M ? n ? 1. Tổng quát: xn ? M ? n ? N0
Dãy bị chặn trên lẫn dưới: gọi chung bị chặn ? m ? xn ? M
?xn? bị chặn dưới: xn ? m ? n ? 1. Tổng quát: xn ? m ? n ? N0
VD: Xét tính bị chặn của các dãy
a/ Bị chặn. Trên: 1, Dưới: 0. b/ Dưới: 0. c/ K0 bị chặn trên, dưới
Chú ý: Từ dãy {xn} ? Hay xét 2 dãy con {x2n ? 1} & {x2n}
Dãy con
GIỚI HẠN DÃY SỐ: ĐỊNH NGHĨA ?DỄ CHỊU? ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Lập bảng giá trị 2 dãy số sau. Quan sát và rút ra kết luận
Nhận xét: n tăng, xn đến gần 1 còn yn đến gần ?1 ? Khi n ? ?: Giá trị xn ? 1, còn yn KHÔNG đến gần giá trị cụ thể nào!
Định nghĩa (?dễ chịu?): Dãy {xn} có giới hạn bằng a ? xn ? a khi n đủ lớn
Mánh: n đủ lớn (n = 1000) & MTBTúi ? 0.50025 ? (b)!
GIỚI HẠN DÃY SỐ: ĐỊNH NGHĨA CHẶT CHẼ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Có ghạn: Hội tụ. K0 có ghạn (hoặc lim = ?): phân kỳ
Dãy ?xn? hội tụ về a ?
Toán học (ngôn ngữ ? ? N0):
xn ?rất gần? a, n đủ lớn ? ?? > 0 ? N0: | xn? a | < ? ? n ? N0
VD: Xét dãy {n/(n + 1)} a/ ?Đoán? lim xn
b/ Với lim vừa đoán & ? = 10-2, 10-3 ? N0 = ?
c/ Chứng minh chặt chẽ (a)
GIỚI HẠN VÔ CÙNG ? DÃY PHÂN KỲ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giới hạn = ?? (vẫn là phân kỳ): Không thể xét | xn ? a | !
Định nghĩa ?xn? phân kỳ: Phủ định (lôgich) mệnh đề hội tụ
Hội tụ:
Phân kỳ:
Thực tế tìm giới hạn: Ít dùng cách chứng minh = định nghĩa!
TÍNH CHẤT GIỚI HẠN ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
lim tổng (hiệu, tích, thương, căn v.v?) = Tổng (hiệu ? ) lim
lim xn = a ? Mọi dãy con của ?xn? đều ? a:
Dãy ?xn? phân kỳ ?
? một dãy con phân kỳ của ?xn?
? hai dãy con hội tụ có lim ? nhau
VD: Chứng tỏ dãy {xn} = {(?1)n} phân kỳ
GIỚI HẠN CƠ BẢN -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hàm mũ:
Lũy thừa:
VD: (Tổng cấp số nhân)
KQ:
Tổng quát:
Hdẫn:
Số e:
Hay gặp:
NGUYÊN TẮC TÍNH GIỚI HẠN -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Biến đổi biểu thức cần tính lim về giới hạn cơ bản & thay vào
VD: Tính giới hạn:
Giải:
Thực tế:
Giới hạn hàm ? Lôpitan ?
GIỚI HẠN KẸP -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho 3 dãy ?xn?, ?yn?, ?zn?
Hệ quả (hay sử dụng):
VD:
VD:
Với n ? 2000:
Côsi:
TIÊU CHUẨN WEIRSTRASS ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tiêu chuẩn Weirstrass:
Dãy tăng & chặn trên thì hội tụ
Dãy giảm & chặn dưới thì hội tụ
Chứng minh dãy hội tụ ? Hay dùng: Tính đơn điệu & bị chặn
VD: Chứng minh tồn tại giới hạn (số e)
Giải: Dãy tăng:
Bđt Côsi:
Bị chặn trên: Xem SGK, Đỗ Công Khanh, trang 18 ? 19
TỔNG KẾT --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Các kỹ thuật chứng minh dãy hội tụ
Chứng minh dãy phân kỳ: Chỉ ra 2 dãy con có lim khác nhau hoặc tối thiểu một dãy con không có giới hạn
Bằng định nghĩa: Tìm giá trị a = limxn . Giải |xn? a| ? ?
Chặn xn từ 2 phía ? Tính chất 3 dãy kẹp
Chứng minh dãy tăng & chặn trên (giảm & chặn dưới)
Tính giới hạn: Đưa về biểu thức theo các giới hạn cơ bản
BT: Sách giáo khoa & Bổ sung (xem trên web)
Maple: >limit( ?, n=infinity); VD: limit( n/(n+1), n=infinity)