Dạy học cách dựng hình phụ qua việc chứng minh một định lý

Dạy học
cách dựng hinh phụ qua việc chứng minh một định lý
A. Dặt vấn đề
Trong khi tỡm phương pháp giải các bài toán hinh học, có lúc việc vẽ thêm các yếu tố phụ làm cho việc giải toán trở nên dễ dàng hơn, thuận lợi hơn.
Thậm chí, có đề bài phải vẽ thêm yếu tố phụ thi mới tim ra được lời giải của bài toán.
Tuy nhiên, vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào để cho bài toán có lời giải ngắn gọn và hay là vấn đề khiến cho chúng ta phải đầu tư suy nghĩ.
Thực tế cho thấy rằng không có phương pháp chung cho việc vẽ thêm các yếu tố phụ khi giải các bài toán hinh học. Tuy từng bài toán cụ thể, chúng ta có nhưng cách vẽ thêm các đường phụ hợp lý để có thể đưa đến nhưng cách giải hay và độc đáo. Song công việc sáng tạo này không thể tuỳ tiện. Việc vẽ thêm các đường phụ luôn phải tuân theo nhưng bài toán dựng hinh cơ bản mà chúng ta đã biết.
Cung vỡ l? dú sau dõy tụi xin du?c gi?i thi?u m?t s? cỏch d?ng hỡnh thụng qua ch?ng minh m?t d?nh lý trong chuong trỡnh SGK hỡnh h?c l?p 8
B. Nội dung
1. Kiến thức cơ bản
+Tam giác cân
+ Công thức tính diện tích của tam giác
+ Tính chất góc ngoài tam giác
+ Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác ( trường hợp bằng nhau đặc biệt của tam giác vuông)
+ Dịnh lý Talet
+ Các trương hợp đồng dạng của hai tam giác
+ Tính chất về đoạn thẳng tỉ lệ
+ Các dấu hiệu nhận biết và các tính chất của hinh thang cân, hinh binh hành, hinh thoi..
2. Dạy cách dựng hinh phụ qua việc chứng minh định lý sau
Xét định lý: " Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy" Hinh học 8
Sau đây, tôi xin được giới thiệu một số cách chứng minh định lý trên, hi vọng rằng chúng ta sẽ tích luỹ được nhiều kinh nghiệm dựng hinh phụ để giải toán hinh học.
Không mất tính tổng quát, ta xét tam giác ABC có phân giác AD ( D thuộc BC),
ABC ACB. Ta cần chứng minh (*)









Cách 1:
Dựng BE (E thuộc AD) sao cho gócABE = gócACD.


Ta có tam giác ABE đồng dạng tam giác ACD ( g-g) suy ra ( 1) và gócAEB = gócADC => gócBED =góc BDE => tam giác BDE cân tại B nên BD = BE (2) . Từ (1) và (2) suy ra








Cách 2:
Dựng BE vuông góc với AD; CF vuông góc với AD( E,F thuộc AD).


Ta có tam giác ABE đồng dạng tam giác ACF (g-g) nên
tam giác BDE đồng dạng tam giác CDF ( g-g) suy ra
Vậy













Cách 3:
Dựng AH vuông góc với BC, DM vuông góc với AB, DN vuông góc với AC
( H, M, N lần lượt thuộc BC, AB, AC)

Ta có Tam giác ADM = tam giác AND ( cạnh huyền - góc nhọn) suy ra DM = DN.

Do đó: (1) Lại có: (2)

Từ (1) và (2) suy ra











Cách 4:
Qua B vẽ đường thẳng song song với AD, cắt đường thẳng AC tại E



Xét tam giác CBE, AD // BE, ta có (1)

Cũng vi AD // BE mà AD lại là phân giác của góc BAC,
nên dễ dàng chứng minh được góc AEB = góc ABE => tam giác ABE cân tại A => AB = AE (2)
Từ (1) và (2) suy ra












Cách 5:
Qua D dựng các đường thẳng song song với AB, AC, lần lượt cắt AC, AB tại E, F.

Ta có BFD đồng dạng DEC (g-g) suy ra

Mặt khác, dễ thấy AEDF là hinh thoi nên suy ra (đfcm)







Học sinh đã được chứng minh
Cách 6: (SGK Toán 8, tập 2, trang 66):
Qua B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng AD tại E









Cách 7:
Qua D dựng đường thẳng song song với AB, qua A dựng đường thẳng song song với BC, hai đường thẳng này cắt nhau tại E. DE cắt AC tại F


Trong tam giác ABC có DF// AB, theo định lý Talet ta có (1)
Tam giác AEF đồng dạng tam giác CDF ( vi AE//DC theo cách d?ng)
nên => => => => (2) (vi ABDE là hinh binh hành nên AB = DE)
Từ (1) và (2) suy ra


Cách 8:
Trong ABC, dựng hai đường cao CE và BF, chúng lần lượt cắt AD tại K, H. dường thẳng qua C song song với AD cắt BF tại I







Ta có = + ( tính chất góc ngoài tam giác)
= + ( tính chất góc ngoài tam giác)
Mà = (gt) nên = => Tam giác AKC đồng dạng tam giác AHB ( g-g) => (1)
Trong tam giác BIC có HD//CI nên (2)
Mà CDHI là hình thang cân ( vi HD//CI và = vi cùng = ) nên CK = HI . Từ (1) và (2) suy ra
Cách 9:
Dựng qua B đường thẳng vuông góc với AB; dựng qua C đường thẳng vuông góc với AC, hai đường thẳng này cắt nhau tại K. AD cắt BK, CK lần lượt tại E, F. Dựng qua B đường thẳng song song với AD, cắt CK tại G

Trong tam giác BCG có DF//BG nên (1)
Mà = + ( tính chất góc ngoài tam giác)
= + ( tính chất góc ngoài tam giác)
và = (gt) suy ra = , do đó = vậy tam giác ABE đồng dạng tam giác ACF => (2)
Mặt khác BDFG là hinh thang cân nên GF = BE
Từ (1) và (2) suy ra

Cách 10:
Qua B, C dựng các đường thẳng song song với AD, cắt đường thẳng qua D song song với AC lần lượt tại F, E. dường thẳng qua F song song với AB cắt AD tại M
Do BF//CE (gt) nên (1) vi ACED là hinh binh hành
Tam giác MFD cân tại F => FM = FD
Mặt khác BFMA là hinh binh hành => FM= AB nên FD =AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra
Chú ý : Các góc có ký hiệu 1 dễ dàng chứng minh được bằng nhau


Bài tập1:
Cho hình vuông ABCD, M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC. Gọi I là giao điểm của CM và DN.
Chứng minh rằng AI=AD
Gợi ý:
Vẽ thêm điểm phụ E là trung điểm của DC và AE cắt DN tại F

Bài tập 2:
Cho tam giác ABC. Về phía ngoài tam giác dựng các hình vuông ABDE, AFCG. CMR đường cao AH của tam giác ABC đi qua trung điểm M của đoạn thẳng EG
Gợi ý:
Cách 1: Vẽ EI và GK vuông góc với AH rồi chứng minh KGIE là hình bình hành.
Cách 2: Vẽ thêm điểm P trên tia đối của tia AH sao cho AP=BC.
Cách 3: Vẽ điểm Q trên tia đối của tia AE sao cho AQ=AE