Day

Tìm giới hạn của dãy số
=


A-LÝ THUYẾT
- Nếu dãy được cho bởi công thức
=
và ƒ(x) là hàm đồng biến trên D : Un

n

(Un) là dãy đơn điệu;
Nếu U1< U2 thì dãy (Un) đơn điệu tăng;
Nếu U1> U2 dãy (Un) đơn điệu giản
* Nếu dãy được cho bởi công thức
=
và ƒ(x) là hàm nghịch biến: Un

n

(U2n) và (U2n+1) là 2 dãy đơn điệu ngược chiều.
Phương pháp khảo sát giá trị của Un+1=ƒ( Un)
-Đánh giá , khảo sát, quy nạp, xét hàm số
-Chứng minh dãy số là dãy số tăng bị chặn trên hoặc giảm bị chặn dưới,
Dãy số có giới hạn là L
*) -Chuyển qua giới hạn phương trình
=

L=ƒ(L)
- Giải phương trình tìm L
L là giới hạn của dãy
B: BÀI TẬP MINH HỌA:
DẠNG I: tìm giới hạn của dãy (Un)
Bài 1: Tìm giới hạn của dãy số (Un)


(1)

Giải
-Ta thấy Un=2+

2< Un< 3 ,

-Đặt ƒ(x)=2+
;

ƒ’(x) =
>0,


ƒ(x) đồng biến trên [2;3)
Ta có: U2=2+
>2 =U1
Mà ƒ(x) là hàm đồng biến
U3>U2
Quy nạp ta có : Un+1>Un ,

Vậy (Un) là dãy số tăng và bị chặn trên bởi 3


:


Vậy



Bài 2: Tính giới hạn của dãy số Un cho bởi công thức :

(1)

Giải
Ta thấy Un >0
Xét hàm số sinh của dãy ƒ(x)=
;

ƒ’(x)=
;

Ta có:





*) U1
(0;2)

)
Quy nap ta có: (Un) là dãy tăng và (Un) và (Un)
(0;2)


Chuyển qua giới hạn phương trình (1) ta có:



*) U1=1
U2=1…..Un=1


*) U1


)
Quy nạp ta có: (Un) là dãy số giảm và (Un)

Vậy (Un) là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 2


 Chuyển qua giới hạn phương trình (1) ta có:



Vậy limUn=2



Bài 3: Tính giới hạn của dãy số Xn cho bởi công thức :



Giải
Đặt ƒ(x)=
, x>0; ta có ƒ’(x)=
< 0


ƒ(x) là hàm nghick biến
Ta có: 0< 1=X1 < 2; Mà ƒ(x) là hàm nghịch biến
ƒ(2) < ƒ(X1) < ƒ(0)

0 < X2 < 2; Quy nạp ta có: 0 < Xn < 2
Ta có: X2=
; X3=1,4
Vì ƒ(x) là hàm nghịch biến
(X2n) và (X2n+1) là 2 dãy đơn điệu ngược chiều
Mà X1< X3
(X2n) là dãy số giảm bị chặn dưới bởi 0 và (X2n+1) là dãy số tăng bị chặn trên bởi 2
Do đó :

Ta có hệ phương trình

(I)
Chuyển qua giới hạn hệ phương trình (I) ta có :




Giải hệ phương trình ta có :
x=y=

Vậy limXn=

Bài 4: Tính giới hạn của dãy số Un cho bởi công thức :

(1)
Giải
Xét ƒ(x)=
;

ƒ’(x)=

0;


ƒ(x) là hàm đồng biến trên R

Xét:


Ta có:


Lập bản biến thiên cua f(x) và xét dấu của g(x):
x
 -
-1 2 +




ƒ(x)

2 +

-1
-



g(x)


- 0 - 0 +




*)Trường hợp