Đạo hàm vi phân

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------
Giải tích hàm nhiều biến

Chương 2: Đạo hàm riêng và vi phân


Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (2/2008)
[email protected]
Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0.1 – Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
0.2 – Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp
0.5 – Công thức Taylor, Maclaurint
0.6 – Ứng dụng của đạo hàm riêng
0.4 – Đạo hàm theo hướng
0.3 – Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa đạo hàm riêng theo x.
Xét hàm một biến F(x) = f(x,y0) theo biến x.
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa đạo hàm riêng theo y.
Xét hàm một biến F(y) = f(x0,y) theo biến y.
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ghi nhớ.
f(x,y) biễu diễn bởi mặt S (màu xanh)
Cố định y = b. Đường cong C1 là giao của S và mặt phẳng y = b.
Phương trình của đường cong C1 là g(x) = f(x, b).
Đạo hàm riêng theo x của f = f(x,y) là hệ số góc của tiếp tuyến T1 với đường cong C1 tại P(a,b,c).
Tương tự, đạo hàm riêng theo y của f = f(x,y) là hệ số góc của tiếp tuyến T2 với đường cong C2 tại P(a,b,c).
Mặt bậc hai f = f(x,y) màu xanh.
Mặt phẳng y = 1 cắt ngang được đường cong C1.
Tiếp tuyến với C1 tại (1,1,1) là đường thẳng màu hồng.
Hệ số góc của tiếp tuyến với C1 tại (1,1,1) là đạo hàm riêng cần tìm.
Biễu diễn hình học của
Mặt bậc hai f = f(x,y) màu xanh.
Mặt phẳng x = 1 cắt ngang được đường cong C2.
Tiếp tuyến với C2 tại (1,1,1) là đường thẳng màu hồng.
Hệ số góc của tiếp tuyến với C2 tại (1,1,1) là đạo hàm riêng cần tìm.
Biễu diễn hình học của
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tính chất của đạo hàm riêng
Vì đạo hàm riêng là đạo hàm của hàm một biến nên tính chất của đạo hàm riêng cũng là tính chất của đạo hàm của hàm một biến.
Hàm một biến: hàm liên tục tại x0 khi và chỉ khi hàm có đạo hàm cấp 1 tại x0.
Hàm nhiều biến: Tồn tại hàm có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (x0,y0) nhưng không liên tục tại điểm này. Giải thích!
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải.
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải.
Đạo hàm riêng hai vế theo y, ta có
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải.
Không tồn tại giới hạn này vì giới hạn trái và giới hạn phải không bằng nhau.
Tương tự
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải.
Vì biểu thức đối xứng đối với x và y nên, đổi chỗ x và y cho nhau ta được đạo hàm riêng theo y.
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải.
(sử dụng qui tắc Lopital)
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho hàm hai biến f = f(x,y).
Đạo hàm riêng theo x và theo y là những hàm hai biến x và y:
Tiếp tục quá trình, ta có khái niệm các đạo hàm cấp cao.
Vì đạo hàm riêng là đạo hàm của hàm một biến nên việc tính đạo hàm riêng cấp cao cũng tương tự tính đạo hàm cấp cao của hàm một biến: dùng công thức Leibnitz và các đạo hàm cấp cao thông dụng.
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chứng minh:
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải.
Hàm f = f(x,y) thỏa phương trình Laplace được gọi là hàm điều hòa.
Hàm điều hòa đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết fluid flow, heat conduction, electric potential,….
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải.
Phương trình sóng mô tả sự chuyển động của các loại sóng: sóng biển, sóng âm thanh hay sóng chuyển động dọc theo một sợi dây rung.
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải.
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải.
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tìm đạo hàm riêng cấp hai
Hàm này có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (0,0) nhưng không liên tục tại đây.
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải.
Sử dụng công thức Leibnitz, coi f(x,y) là hàm một biến theo x.
Đặt
Cho f có các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục
C1 và C2 là hai đường cong tạo nên do hai mặt y = b và x =a cắt S
Điểm P nằm trên cả hai đường này. Giả sử T1 và T2 là hai tiếp tuyến với hai đường cong C1 và C2 tại P.
Phương trình mặt tiếp diện với S tại (x0, y0, z0) là:
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải.
Ví dụ
Tìm phương trình mặt phẳng tiếp diện với paraboloid elliptic
Phương trình mặt phẳng tiếp diện:
Nếu tại điểm tiếp xúc ta phóng to lên thì mặt paraboloid gần trùng với mặt phẳng tiếp diện.
Hàm tuyến tính L(x,y) = 4x +2y – 3 là hàm xấp xỉ tốt cho f = 2x2 + y2
khi mà (x,y) gần với điểm (1,1).
Gần bằng với giá trị thực:
Nếu ta chọn điểm xa điểm (1,1) thì kết quả không còn đúng nữa.
Khác xa với giá trị thực:
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chứng minh.
Chứng minh.
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dùng vi phân cấp 1 để tính gần đúng
Cho hàm f(x,y) khả vi tại (x0,y0). Khi đó ta có:
Công thức (1) dùng để tính gần đúng giá trị của f tại (x,y).
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Qui tắc dùng vi phân cấp 1 để tính gần đúng
Để tính gần đúng giá trị của hàm f tại điểm cho trước (x,y). Ta thực hiện
1) Chọn một điểm (x0,y0) gần với điểm (x,y) sao cho f(x0,y0) được tính dễ dàng
Chú ý: Nếu điểm (x0,y0) xa với điểm (x,y) thì giá trị tính được không phù hợp.
2) Tính giá trị
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Chứng tỏ f = xexy khả vi tại (1,0). Sử dụng kết quả này để tính gần đúng giá trị
Giải.
Các đạo hàm riêng cấp một liên tục trên R2, nên liên tục trong lân cận của (1,0). Theo định lý (đk đủ khả vi) f = xexy khả vi tại (1,0).
So sánh với giá trị thực:
Giải.
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2) Cho x0 = 2, y0 = 3
Ta thấy hai giá trị gần giống nhau nhưng df tính dễ hơn.
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa vi phân cấp cao
Cho hàm f = f(x,y) khi đó df(x,y) cũng là một hàm hai biến x, y.
Vi phân (nếu có) của vi phân cấp 1 được gọi là vi phân cấp 2.
Một cách hình thức, có công thức tính vi phân cấp n. Sử dụng nhị thức Newton
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Công thức vi phân cấp 3 của hàm f = f(x,y)
Công thức vi phân cấp 4:
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải.
Ví dụ
Tìm vi phân cấp hai , biết
Vi phân cấp hai
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải.
Ví dụ
Tìm vi phân cấp hai , biết
Vi phân cấp hai
Giải.
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Dùng vi phân cấp 1, tính gần đúng
Chọn giá trị gần với 1.03, 1.98:
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải.
Ví dụ
Tìm các đạo hàm riêng của hàm hợp
Giải.
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trường hợp 3
f = f(u,v)
u = u(x,y)
v = v(x,y)
x
y
x
y
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải.
Ví dụ
Tìm của hàm hợp
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trường hợp 4
Thay y = y(x) vào ta được hàm một biến theo x:
f = f(x,y) là một hàm hai biến theo x và y. Khi đó ta có khái niệm đạo hàm riêng theo x:
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm của hàm
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Đạo hàm cấp hai của hàm hợp
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm của hàm hợp
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Đạo hàm cấp hai của hàm hợp
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm của hàm hợp
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vi phân cấp một của hàm hợp
u, v là hai biến hàm, x và y là hai biến độc lập.
Khi thay u(x,y), v(x,y) vào ta được hàm f theo hai biến x, y độc lập.
Tùy theo bài toán mà ta dùng công thức (1) hoặc (2). Thường dùng công thức số (1)
Hai công thức giống nhau. Trong (1) là biến hàm, trong (2) là biến độc lập. Nên ta nói: vi phân cấp một có tính bất biến.
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm của hàm hợp
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vi phân cấp hai của hàm hợp
Chú ý ở đây u, v là biến hàm nên du, dv không là hằng số
Vi phân cấp hai không còn tính bất biến.
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vi phân cấp hai của hàm hợp
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm của hàm hợp
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
III. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp:
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm biết y = y(x) là hàm ẩn xác định từ phương trình
Cách 1. Đạo hàm hai vế phương trình, chú ý y là hàm theo x.
Cách 2. Sử dụng công thức. Chú ý ở đây sử dụng đạo hàm riêng!
Chú ý. Cần phân biệt đạo hàm theo x ở hai cách. Cách 1, đạo hàm hai vế coi y là hàm theo x. Cách 2, đạo hàm riêng của F theo x, coi y là hằng.
III. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp, chú ý x, y là hai biến độc lập, z là hàm theo x, y
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm , biết z = z(x,y) là hàm ẩn xác định từ phương trình
Cách 1. Đạo hàm hai vế phương trình theo x, chú ý y là hằng, z là hàm theo x.
Cách 2. Sử dụng công thức. Chú ý ở đây x là biến, y và z là hằng!
Tương tự tìm đạo hàm riêng của z theo y.
III. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định lý (về hàm ẩn) .
Chứng minh.
III. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chú ý. Vì z = z(x,y) là hàm hai biến độc lập x và y. Nên vi phân cấp một, cấp hai hoặc cấp cao của hàm ẩn cũng giống như vi phân cấp 1 và cấp hai của hàm f = f(x,y) trong phần I.
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm , biết z = z(x,y) là hàm ẩn xác định từ phương trình
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm , biết z = z(x,y) là hàm ẩn xác định từ phương trình
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm , biết z = z(x,y) là hàm ẩn xác định từ phương trình
II. Bài tập
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
II. Bài tập
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
II. Bài tập
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------