Đạo Hàm và Vi Phân

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN.
ĐẠO HÀM TẠI 1 ĐIỂM
Cho y = f(x) xác định trong (a, b)  x0, xét tỷ số
Nếu tỷ số trên có giới hạn hữu hạn khi x →x0 hay x → 0 thì f có đạo hàm tại x0.
Đặt
x  x0
f’(x0) là hệ số góc tiếp tuyến của đường cong
(C): y = f(x) tại tiếp điểm M(x0, f(x0))
x
Đạo hàm trái tại x0:
Đạo hàm phải tại x0:
f có đạo hàm tại x0
Cách tính đạo hàm
Nếu f xác định bởi 1 biểu thức sơ cấp: dùng công thức đạo hàm sơ cấp và các quy tắc(tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp).
Nếu tại x0, biểu thức f ’ không xác định: tính bằng định nghĩa.
Nếu hàm số có phân chia biểu thức tại x0: tính bằng định nghĩa.
Nếu f(x) = u(x)v(x) hoặc f(x) là tích thương của nhiều hàm: tính (lnf)’
Ví dụ: tính đạo hàm tại các điểm được chỉ ra
tại x = 1
tại x = 0
1
x  0-
1
f ’(0) không tồn tại
x  0+
Tính bằng định nghĩa.
tại x = 1
Đạo hàm hàm ngược
Cho y = f(x): (a, b)(c, d) liên tục và tăng ngặt.
Khi đó tồn tại hàm ngược f 1: (c, d)  (a, b) liên tục và tăng ngặt.
Nếu tồn tại f ’(x0)  0, xo(a, b) thì tại y0 = f(x0), f 1 có đạo hàm và
Ta thường viết:
Đạo hàm các hàm lượng giác ngược
y = arcsinx, x(-1, 1)
 x = sin y,
y = arctanx, xR
 x = tan y,
Bảng công thức đạo hàm các hàm mới
Đạo hàm hàm ẩn
Hàm số y = f(x) xác định bởi phương trình
()
gọi là hàm ẩn xác định bởi ()
Cách tìm y’(x): lấy đạo hàm pt () theo x, giải tìm y’ theo x và y.
Tìm y’(x) với y xác định từ pt :
()
Lấy đạo hàm pt () theo x
So sánh với kết quả lấy đạo hàm từ các biểu thức
Ví dụ
Ví dụ
Tìm y’(0) với y = y(x) xác định bởi
()
Lấy đạo hàm pt () theo x
Từ (), với x = 0
 y = -1
( )
Thay vào ( ):
Tìm đạo hàm tại x = 1của hàm ẩn y = y(x) xác định bởi pt:
()
Lấy đạo hàm () hai theo x
Từ (), x = 1 y = 0, thay vào ()
()
Đạo hàm hàm cho theo tham số
Cho các hàm số :
Nếu : * x = x(t) có hàm ngược t = t(x)
* x(t) và y(t) có đạo hàm, x’(t) ≠ 0
Ví dụ
Cho :
Tính y’(x) tại x = -1
x = -1
 t.et – 1 = – 1
 t = 0
ĐẠO HÀM CẤP CAO
Cho f(x) có đạo hàm cấp 1 trong lân cận x0, nếu f’ có đạo hàm tại x0, đặt
Có thể viết:
Tổng quát: đạo hàm cấp n là đạo hàm của đạo hàm cấp (n – 1)
Ví dụ
Tìm đạo hàm cấp 2 của f tại x = 1:
Tìm đạo hàm cấp 2 tại x = 1của hàm ẩn y = y(x) xác định bởi pt:
(1)
(2)
(3)
Lấy đạo hàm (1) theo x
Lấy đạo hàm (2) theo x
Thay x = 1, y = 0, y’ = 1 vào (3)
(3)
Đạo hàm cấp cao các hàm cơ bản
Đạo hàm cấp cao các hàm cơ bản
Công thức đạo hàm cấp cao
(công thức Leibnitz)
Đạo hàm cấp cao của tổng hiệu:
Đạo hàm cấp cao của tích:
Ví dụ
Tính đạo hàm cấp 7 tại x = 1.
Tính đạo hàm cấp 7 tại x = 1.
Đạo hàm cấp cao của hàm tham số
Cho các hàm số :
Ví dụ
Cho y(t) = t2 + 1, x(t) = t3 – t + 2, tính y”(t)
Cách 2:
y(t) = t2 + 1, x(t) = t3 – t + 2
SỰ KHẢ VI VÀ VI PHÂN
f khả vi tại xo nếu tồn tại một hằng số A sao cho
hay
Khi đó đại lượng:
gọi là vi phân của f tại xo
Ví dụ
Cho f(x) = x2 , chứng minh f khả vi và tìm df(1)
df(1)
o(x – 1)
Đạo hàm và vi phân
f khả vi tại xo  f có đạo hàm tại xo
Cách viết thông thường:
Cách viết khác của đạo hàm:
Ví dụ
Cho f(x) = 3x2 – x, tìm số gia f và vi phân df tại x = 1 với x =0.01
Tìm vi phân của f(x) = xex tại x = 0
Tìm vi phân của f(x) = xsinx
Các phép tính vi phân
Vi phân hàm hợp
Nếu y = f(x) khả vi theo x (biến độc lập):
Nếu x = x(t) , y = f(x) khả vi, x = x(t) khả vi
 y = f(x(t)) khả vi theo t (biến độc lập):
Dù x là biến độc lập hay hàm số, dạng vi phân của y theo x không đổi.
Ví dụ áp dụng
Cho y = f(x) = sin(x2),
Tính dy theo dx
Với x = x(t) = arctan(t), tính dy theo dt tại t = 1
Cách khác: dùng vi phân hàm hợp
Tại t = 1, x = /4
VI PHÂN CẤP CAO
Nếu x là biến độc lập:
dx = x : là hằng số
Nếu x = x(t):
dx = x’dt : là hàm số
Ví dụ
Cho y = sin(x)
Tính d2y theo dx.
Nếu x = ch(t), tính d2y theo dt.
Tổng kết.
Tính đạo hàm cho 3 loại hàm số (y = f(x), hàm ẩn, tham số).
Nếu x là biến độc lập: tính vi phân là tính đạo hàm
Nếu x = x(t) (là hàm số):
Vi phân cấp 1 : dy = y’(x)dx, sau đó khai triển dx theo dt
Vi phân cấp 2: d2y = y”dx2 + y’d2x
cuối cùng phải đưa về dt2(chỉ tính đến cấp 2)