Đẳng thức và bất đẳng thức ptolemy và điểm Toricelli trong bồi dưỡng hình học cho HSG lớp 9 để nâng cao

Nội dung
Trang

Đẳng thức Ptô-lê-mê:


Bất đẳng thức tam giác?


BĐT Ptoleme tổng quát


Hệ quả BĐT Ptoleme


Ứng dụng


Ứng dụng định lý mở rộng


Mở rộng định lý và BĐT


Ptoleme và tứ giác điều hòa


Ứng dụng không hình học


Bài Tập Có Giải


Bài Tập Tự Giải


Tư Liệu Tham Khảo


Đẳng thức Ptô-lê-mê:
Cho tứ giác
nội tiếp đường tròn
. Khi đó:





Chứng minh:
Do từ đẳng thức : AB.CD + AD.BC = AC.DB ta có thể tách AC ra hai đoạn có M ở giữa.
Như vậy có thể viết lại : AB.CD + AD.BC = (AM + MC).DB
Ta có thể viết lại như sau : AB.CD + AD.BC = AM.DB + MC.DB
Vậy ta có khả năng nhận định : AB.CD = AM.DB và AD.BC = MC.DB

=
vậy cần chứng minh : ∆ABM ~ ∆DBC.

=
vậy cần chứng minh : ∆ADB ~ ∆MCB.
Vậy:
Ta phải lấy điểm
thuộc đường chéo
sao cho các tam giác : ∆ADB ~ ∆MCB.
Khi đó : chọn M sao cho góc :
=
Khi đó xét
và

Ta có:
=
(góc cùng chắn cung AB) .

=
(giả thuyết) Nên
đồng dạng với

Do đó ta có:
.

Ta lại xét 02 tam giác ngược lại là ∆ABM ~ ∆DBC
Ta có:
Góc :
=
(góc cùng chắn cung BC) (*).
Do góc :
=
(do ∆ADB ~ ∆MCB).
Nên :
+
=
+
(=>
+
) (**)
Từ (*) và (**) nên ∆ABM ~ ∆DBC (g-g).
Suy ra
hay
Từ
và
suy ra:
Vậy đẳng thức Ptô-lê-mê được chứng minh.
Bất đẳng thức Ptoleme là hệ quả của bất đẳng thức tam giác?  
Ai cũng biết bất đẳng thức tam giác: Với A, B, C là ba điểm bất kỳ trên mặt phẳng, ta có AB+AC ≥ BC (1).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C. Nói cách khác  với k là một số thực dương.
Trong khi đó, bất đẳng thức Ptoleme khẳng định: Với 4 điểm A, B, C, D bất kỳ trên mặt phẳng, ta có
 
Rõ ràng, theo một quan điểm nào đó thì bất đẳng thức Ptoleme chính là mở rộng của bất đẳng thức tam giác. Vì sao vậy? Xin giải thích lý do: 
Chia hai vế của (2) cho BD, ta được:
Nếu chọn D “đủ xa” thì từ đây ta sẽ suy ra

Điều này nghe cũng ngạc nhiên, tuy nhiên lợi ích đem lại của sự đặc biệt hoá này không nhiều, vì chẳng lẽ lại dùng bất đẳng thức Ptoleme cao siêu để chứng minh bất đẳng thức tam giác vốn được coi như tiên đề? 
Tuy nhiên, một logich rất tự nhiên dẫn chúng ta đến một ý tưởng hữu ích hơn: Như vậy bất đẳng thức Ptoleme có liên quan đến bất đẳng thức tam giác. Vậy có thể là bất đẳng thức Ptoleme có thể được chứng minh nhờ vào bất đẳng thức tam giác? Điều này quả là như vậy. Ba phép chứng minh tiêu biểu dưới đây sẽ minh chứng cho luận điểm này: 
Cách chứng minh thứ nhất: Sử dụng tính chất tam giác đồng dạng và bất đẳng thức tam giác. 


Trong
lấy điểm M sao cho:
.
Chỉ cần vẽ BM sao cho tạo với đường thẳng BC một góc bằng ABD.
Chỉ cần vẽ CM sao cho tạo với đường thẳng CB một góc bằng ADB.
Hai đường thẳng cắt nhau tại M. Dễ dàng chứng minh:


Vậy : BD.CM = AD.CB (1).
Do :

Ta lại xét 02 tam giác ngược lại là ∆ABM ~ ∆DBC
Ta có:
Do góc :
=
(do ∆ADB ~ ∆MCB).
Nên :
+
=
+
(=>
+
)
Và cặp tỉ số :
=
do 02 tam giác : ∆ADB ~ ∆MCB vừa chứng minh.
Nên : ∆ABM ~ ∆DBC
Vậy : “BD.AM = AB.CD” (2).
Cộng (1) và (2) vế với vế ta được :
BD.(CM+AM) = AD.BC + AB.CD (3).
Từ (3) Áp dụng bất đẳng thức trong tam