Đại số và Giải tích 11 nâng cao. Đề thi chọn HSG

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP CỤM TRƯỜNG THPT
NĂM HỌC 2016-2017

Môn thi: Toán – Lớp 11
Ngày thi: 01/3/2016
Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1 (4 điểm) Giải các phương trình sau:

.


Bài 2 (4 điểm)
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà trong mỗi số lập được có chữ số liền sau luôn lớn hơn chữ số liền trước.
Cho
là số nguyên dương, chứng minh


Bài 3 (4 điểm)
Cho dãy số
thỏa mãn:

Chứng minh

Tính

Bài 4 (4 điểm)
Cho tam giác
có ba cạnh có độ dài lập thành một cấp số nhân. Chứng minh tam giác
không có hai góc lớn hơn

Cho tam giác
nhọn. Tìm vị trí điểm M thuộc miền trong của tam giác
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 5 ( 4 điểm)
Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành. Gọi
là điểm bất kỳ trên cạnh
(
không trùng với
và
). Mặt phẳng
chứa đường thẳng
và song song với đường thẳng
cắt
lần lượt tại

Chứng minh mặt phẳng
luôn chứa một đường thẳng cố định.
Chứng minh biểu thức
có giá trị không đổi.

---------------- HẾT ----------------

Họ tên thí sinh: ………………………………….. Số báo danh:……………………………..

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP CỤM TRƯỜNG THPT
NĂM HỌC 2016-2017

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 11

Bài
HƯỚNG DẪN CHẤM
Điểm

Bài 1
Giải pt…
4 điểm

Câu 1




Giải pt: 𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥
2
𝑠𝑖𝑛3𝑥
2 điểm


Pt tương đương 𝑠𝑖𝑛3𝑥=sin⁡(𝑥
𝜋
4)

1,0


Pt có hai nghiệm 𝑥
𝜋
8+𝑘𝜋 ; 𝑥
5𝜋
16
𝑘𝜋
2 với 𝑘∈𝚉
1,0

Câu 2

Giải pt: 𝑠𝑖𝑛2𝑥+2𝑡𝑎𝑛𝑥=3.
2 điểm


Điều kiện: 𝑐𝑜𝑠𝑥≠0 hay 𝑥
𝜋
2+𝑘𝜋, 𝑘∈𝑍𝚉

0,5


Đặt 𝑡=𝑡𝑎𝑛𝑥 , 𝑡∈𝑅, ta có 𝑠𝑖𝑛2𝑥
2𝑡
1
𝑡
2

0,5


Pt trở thành :
2𝑡
1
𝑡
2+2𝑡=3 ⇔2
𝑡
3−3
𝑡
2+4𝑡−3=0⇔𝑡=1

0,5


Với 𝑡=1=𝑡𝑎𝑛
𝜋
4 nên 𝑥
𝜋
4+𝑘𝜋, 𝑘∈𝑍𝚉 là nghiệm của pt.
0,5

Bài 2

4 điểm

Câu 1
Có bao nhiêu chữ số…..
2 điểm


Ta dễ thấy số 0 không có mặt trong số được lập.
0,5


Cứ mỗi tổ hợp chập 5 của 9 phần tử sẽ cho 1 cách sắp thứ tự duy nhất số liền sau lớn hơn số liền trước,
1,0


Số số lập được là
𝐶
9
5=126 số
0,5

Câu 2
Chứng minh rằng:
𝐶
𝑛
0
𝐶
𝑛
1
𝐶
𝑛
1
𝐶
𝑛
2
𝐶
𝑛
2
𝐶
𝑛
3
𝐶
𝑛
𝑛−1
𝐶
𝑛
𝑛
𝐶
2𝑛
𝑛+1.
2 điểm


Xét khai triển:
(1+𝑥
𝑛
𝐶
𝑛
0
𝑥𝐶
𝑛
1
𝑥
2
𝐶
𝑛
2
𝑥
𝑛−1
𝐶
𝑛
𝑛−1
𝑥
𝑛
𝐶
𝑛
𝑛 với 𝑥∈𝑅.
(𝑥+1
𝑛
𝑥
𝑛
𝐶
𝑛
0
𝑥
𝑛−1
𝐶
𝑛
1
𝑥
𝑛−2
𝐶
𝑛
2+…+𝑥
𝐶
𝑛
𝑛−1
𝐶
𝑛
𝑛

0,5


Hệ số của
𝑥
𝑛+1 trong khai triển (1+𝑥
𝑛(𝑥+1
𝑛 là:

𝐶
𝑛
0
𝐶
𝑛
1
𝐶
𝑛
1
𝐶
𝑛
2
𝐶
𝑛
2
𝐶
𝑛
3
𝐶
𝑛
𝑛−1
𝐶
𝑛
𝑛

0,5


Do (1+𝑥
𝑛(𝑥+1
𝑛(1+𝑥
2𝑛
𝑘=0
2𝑛
𝐶