Đại số tuyến tính

Bài 4.
HẠNG CỦA MỘT HỆ HỮU HẠN VÉC TƠ, HẠNG CỦA MA TRẬN
4.1. Hạng của một hệ hữu hạn véc tơ.
4.2. Hạng của ma trận.
4.3. Cách tìm hạng của ma trận.
4.1 Hạng của một hệ hữu hạn véc tơ
a. Định nghĩa.

Cho một hệ gồm m véc tơ của không gian véc tơ V, m≥1. Số véc tơ của hệ con độc lập tuyến tính tối đại được gọi là hạng của hệ véc tơ đã cho.
Hệ con độc lập tuyến tính tối đại
Cho hệ S gồm m véc tơ(m≥ 1) của không gian véc tơ V trên trường K. Hệ T gồm r véc tơ của hệ S được gọi là hệ con độc lập tuyến tính tối đại nếu T độc lập tuyến tính và mọi véc tơ của hệ S đều biểu thị tuyến tính được qua hệ T.
b. Hệ quả.
Hệ quả 1. Nếu thêm vào một hệ hữu hạn véctơ đã cho một tổ hợp tuyến tính của hệ thì hạng của hệ mới bằng hạng của hệ đã cho.
Hệ quả 2. Hai hệ hữu hạn véc tơ tương đương có cùng hạng.
Định nghĩa: Hai hệ hữu hạn véc tơ của một không gian véc tơ V được gọi là tương đương nếu mỗi véc tơ của hệ này biểu thị tuyến tính được qua hệ kia.
4.2. Hạng của ma trận
a. Định nghĩa 1.
Cho ma trận A kiểu (m,n),


Coi mỗi dòng của ma trận như một vectơ trong không gian véc tơ Kn. Thì hạng của hệ véc tơ dòng



là hạng của ma trận A. Ký hiệu hạng(A)


b. Định nghĩa 2. Cho ma trận A kiểu (m,n). Chọn k dòng và k cột của nó. Các phần tử nằm ở giao của k dòng và k cột này lập thành một ma trận vuông cấp k. Định thức của ma trận vuông này được gọi là một định thức con cấp k của ma trận A.
c. Định lý.
Hạng của ma trận bằng cấp cao nhất của các định thức con khác 0 của nó.
d. Hệ quả. Hạng của ma trận bằng hạng của hệ vec tơ cột của nó.
4.3. Cách tìm hạng của ma trận
Tìm định thức con cấp cao nhất khác 0
Giả sử đã tìm được định thức con D cấp s khác 0.
Xét tất cả các định thức con cấp s+1 chứa D.
Nếu tất cả các định thức này đều bằng 0 thì hạng của ma trận bằng s.
Nếu có một định thức con cấp s+1 khác 0 thì ta lại tiếp tục làm như trên cho tới khi tìm được một định thức con cấp r mà tất cả các định thức con cấp r+1 đều bằng 0 thì hạng của ma trận bằng r.
Ví dụ: Bài 16. Tìm hạng của ma trận
d.
Vậy hạng(D)= 3